問題
以下の素数は 個以下であることを示せ。
出典：一橋大学 2021年度 前期 文系 第1問
方針
解法1（4個の小さい素数を包除する）
以外の素数は，これら4数のどれでも割り切れない。そこで から までの整数から4種類の倍数を包除原理で除き，素数候補の個数を上から評価する。
解法2（合成数を767個つくる）
まず の倍数である合成数を包除原理で数える。さらに，それらと重ならない合成数として， 以上 以下の素数2個の積を数え，合成数の下界を作る。
解答
解法1（4個の小さい素数を包除する）
以外の素数は， のどれでも割り切れない。したがって，まず から までの整数のうち，これら4数のいずれでも割り切れないものの個数を求める。
1個の数の倍数の個数の和は
2個ずつの最小公倍数の倍数の個数の和は
3個ずつの場合は
であり，4個すべての最小公倍数 の倍数は4個である。よって包除原理から，いずれでも割り切れない整数は
個である。
この228個には も含まれるが，上からの評価なのでそのまま残してよい。小さい素数 を加えても，素数の個数は高々
である。したがって， 以下の素数は 個以下である。
解法2（合成数を767個つくる）
から までの整数のうち， の少なくとも1つで割り切れるものは，包除原理により
個である。このうち 自身を除く731個は合成数である。
次に
の8個の素数から，重複を許して2個を選び，その積を考える。最大でも
であり，積はすべて 以下の合成数である。素因数分解の一意性により異なる選び方は異なる整数を与え，その個数は
個である。これらは のどれでも割り切れないので，先の731個とは重ならない。
したがって合成数は少なくとも
個ある。さらに は素数でないから， 以下の素数の個数は高々
である。