一橋大学 2021年度文系数学第2問解答・解説

問題

実数 $x$ に対し， $x$ を超えない最大の整数を $[x]$ で表す。数列 ${a_{k}}$ を

a_{k} = 2^{[k]} (k = 1, 2, 3, \dots)

で定義する。正の整数 $n$ に対して

b_{n} = k = 1 \sum n^{2} a_{k}

を求めよ。

出典：一橋大学 2021年度前期文系第2問

$[k] = m$ となる範囲を $m^{2} \leq k < (m + 1)^{2}$ と区切る。各ブロックは $2 m + 1$ 項で，末尾の $k = n^{2}$ だけを別に加え，有限和を整理する。

$b_{n} - b_{n - 1}$ は $(n - 1)^{2} < k \leq n^{2}$ の部分和である。この区間では末尾の1項を除いて床関数が $n - 1$ なので差が簡単に求まり，得られた漸化式を帰納的に解く。

$[k] = m$ となるための必要十分条件は

m^{2} \leq k < (m + 1)^{2}

である。したがって， $m = 1, 2, \dots, n - 1$ について $a_{k} = 2^{m}$ となる項は $2 m + 1$ 個あり，最後の $k = n^{2}$ だけは $a_{n^{2}} = 2^{n}$ である。よって

b_{n} = m = 1 \sum n - 1 (2 m + 1) 2^{m} + 2^{n} .

ここで

m = 1 \sum N m 2^{m} = (N - 1) 2^{N + 1} + 2, m = 1 \sum N 2^{m} = 2^{N + 1} - 2

を用いる。 $N = n - 1$ とすると

m = 1 \sum n - 1 (2 m + 1) 2^{m} = (2 n - 3) 2^{n} + 2

だから

b_{n} = (2 n - 2) 2^{n} + 2 = (n - 1) 2^{n + 1} + 2.

この式は $n = 1$ のときも $b_{1} = 2$ を与える。

$n \geq 2$ とする。 $(n - 1)^{2} + 1$ から $n^{2} - 1$ までの $2 n - 2$ 個の整数 $k$ について

[k] = n - 1

であり， $k = n^{2}$ では $[k] = n$ である。したがって

b_{n} - b_{n - 1} = (2 n - 2) 2^{n - 1} + 2^{n} = n 2^{n} .

一方，候補となる式

B_{n} = (n - 1) 2^{n + 1} + 2

は $B_{1} = 2 = b_{1}$ を満たし，

B_{n} - B_{n - 1} = (n - 1) 2^{n + 1} - (n - 2) 2^{n} = n 2^{n}

も満たす。よって数学的帰納法により $b_{n} = B_{n}$ である。すなわち

b_{n} = (n - 1) 2^{n + 1} + 2.