一橋大学 2021年度 前期文系数学 第2問

$$[\sqrt{k}]=m$$ となるための必要十分条件は$$m^2\le k<(m+1{)}^2$$である。したがって，$m=1,2,\dots ,n-1$ について $a_k=2^m$ となる項は $2m+1$ 個あり，最後の $k=n^2$ だけは $a_{n^2}=2^n$ である。よって$$b_n=\sum _{m=1}^{n-1}(2m+1)2^m+2^n\mathrm{.}$$ここで$$\sum _{m=1}^{N}m{2}^m=(N-1)2^{N+1}+2,\sum _{m=1}^N{2}^m=2^{N+1}-2$$を用いる。$N=n-1$ とすると$$\sum _{m=1}^{n-1}(2m+1)2^m=(2n-3)2^n+2$$だから$$b_n=(2n-2)2^n+2=(n-1)2^{n+1}+2.$$この式は $n=1$ のときも $b_1=2$ を与える。

$b_n-b_{n-1}$ は $(n-1{)}^2<k\le n^2$ の部分和である。この区間では末尾の1項を除いて床関数が $n-1$ なので差が簡単に求まり，得られた漸化式を帰納的に解く。

$n\ge 2$ とする。$(n-1{)}^2+1$ から $n^2-1$ までの $2n-2$ 個の整数 $k$ について$$[\sqrt{k}]=n-1$$であり，$k=n^2$ では $$[\sqrt{k}]=n$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle b_n-b_{n-1}}& {\displaystyle =(2n-2)2^{n-1}+2^n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =n{2}^n\mathrm{.}}\end{array}$$一方，候補となる式$$B_n=(n-1)2^{n+1}+2$$は $B_1=2=b_1$ を満たし，$$B_n-B_{n-1}=(n-1)2^{n+1}-(n-2)2^n=n{2}^n$$も満たす。よって数学的帰納法により $b_n=B_n$ である。すなわち$$b_n=(n-1)2^{n+1}+2.$$