一橋大学 2021年度文系数学第3問解答・解説

問題

以下の問いに答えよ。

(1) $a, b$ を実数とし，2次方程式

x^{2} - a x + b = 0

が実数解 $α, β$ をもつとする。ただし，重解の場合は $α = β$ とする。3辺の長さが $1, α, β$ である三角形が存在する $(a, b)$ の範囲を求め，図示せよ。

(2) 3辺の長さが $1, α, β$ である三角形が存在するとき，

\frac{α β + 1}{( α + β ) ^{2}}

の値の範囲を求めよ。

出典：一橋大学 2021年度前期文系第3問

方針

解法1（解と係数・判別式）

$a = α + β$ ， $b = α β$ と三角形の条件 $∣ α - β ∣ < 1 < α + β$ を用い，差の平方を判別式 $a^{2} - 4 b$ に直す。(2)は固定した $a$ に対する $b$ の範囲から値域を求める。

解法2（和と差を直接パラメータにする）

$s = α + β$ ， $d = ∣ α - β ∣$ とおく。三角形条件は単に $s > 1, 0 \leq d < 1$ となり， $a = s$ ， $b = (s^{2} - d^{2}) /4$ から領域と値域を同時に読める。

解答

解法1（解と係数・判別式）

(1)

解と係数の関係より

a = α + β, b = α β .

3辺 $1, α, β$ が三角形をつくるための条件は

α > 0, β > 0, ∣ α - β ∣ < 1 < α + β

である。また

(α - β)^{2} = a^{2} - 4 b

だから，この条件は

a > 1, 0 \leq a^{2} - 4 b < 1

と同値である。このとき $a > 0, b > 0$ なので，2実根 $α, β$ はともに正である。

したがって求める領域は

a > 1, \frac{a ^{2} - 1}{4} < b \leq \frac{a ^{2}}{4} .

下側の境界は含まず，上側の境界は含む。

(2)

求める値を $R$ とおくと

R = \frac{b + 1}{a ^{2}} .

(1)の $b$ の範囲から

\frac{1}{4} + \frac{3}{4 a ^{2}} < R \leq \frac{1}{4} + \frac{1}{a ^{2}}, a > 1.

したがって $R$ は $1/4$ より大きく $5/4$ より小さい。逆に任意の

\frac{1}{4} < R < \frac{5}{4}

に対し， $u = R - 1/4$ とおいて $a = 1/ u > 1$ ， $b = a^{2} /4$ とすれば上端の等号でその値を実現できる。よって

\frac{1}{4} < \frac{α β + 1}{( α + β ) ^{2}} < \frac{5}{4} .

解法2（和と差を直接パラメータにする）

(1)

s = α + β, d = ∣ α - β ∣

とおく。3辺 $1, α, β$ が三角形をつくるための必要十分条件は

s > 1, 0 \leq d < 1.

実際， $s > 1 > d$ なので $α = (s + d) /2$ ， $β = (s - d) /2$ はともに正である。

解と係数の関係から

a = s, b = α β = \frac{s ^{2} - d ^{2}}{4} .

したがって $s > 1, 0 \leq d < 1$ を動かすと

a > 1, \frac{a ^{2} - 1}{4} < b \leq \frac{a ^{2}}{4}

を得る。

(2)

同じ $s, d$ を用いると

\frac{α β + 1}{( α + β ) ^{2}} = \frac{( s ^{2} - d ^{2} ) /4 + 1}{s ^{2}} = \frac{1}{4} + \frac{4 - d ^{2}}{4 s ^{2}} .

ここで $s > 1$ ， $0 \leq d < 1$ だから

\frac{1}{4} < R < \frac{5}{4} .

さらに，任意のこの範囲の $R$ に対し

d = 0, s = \frac{1}{R - 1/4}

と選べば $s > 1$ であり，その値を実現する。したがって値域は

\frac{1}{4} < R < \frac{5}{4}

である。

一橋大学 2021年度文系数学 第3問

問題

方針

解法1（解と係数・判別式）

解法2（和と差を直接パラメータにする）

解答

解法1（解と係数・判別式）

(1)

(2)

解法2（和と差を直接パラメータにする）

(1)

(2)

一橋大学 2021年度
文系数学第3問