一橋大学 2021年度 前期文系数学 第3問

(1)
解と係数の関係より$$a=\alpha +\beta ,b=\alpha \beta \mathrm{.}$$3辺 $1,\alpha ,\beta$ が三角形をつくるための条件は$$\alpha >0,\beta >0,\mathrm{\mid }\alpha -\beta \mathrm{\mid }<1<\alpha +\beta$$である。また$$(\alpha -\beta {)}^2=a^2-4b$$だから，この条件は$$a>1,0\le a^2-4b<1$$と同値である。このとき $a>0,b>0$ なので，2実根 $\alpha ,\beta$ はともに正である。

したがって求める領域は$$a>1,\frac{a^2-1}{4}<b\le \frac{a^2}{4}\mathrm{.}$$下側の境界は含まず，上側の境界は含む。

(2)
求める値を $R$ とおくと$$R=\frac{b+1}{a^2}\mathrm{.}$$(1)の $b$ の範囲から$$\frac{1}{4}+\frac{3}{4a^2}<R\le \frac{1}{4}+\frac{1}{a^2},a>1.$$したがって $R$ は $1\mathrm{/}4$ より大きく $5\mathrm{/}4$ より小さい。逆に任意の$$\frac{1}{4}<R<\frac{5}{4}$$に対し，$u=R-1\mathrm{/}4$ とおいて $$a=1\mathrm{/}\sqrt{u}>1$$，$b=a^2\mathrm{/}4$ とすれば上端の等号でその値を実現できる。よって$$\frac{1}{4}<\frac{\alpha \beta +1}{(\alpha +\beta {)}^2}<\frac{5}{4}\mathrm{.}$$

$s=\alpha +\beta$，$d=\mathrm{\mid }\alpha -\beta \mathrm{\mid }$ とおく。三角形条件は単に $s>1,0\le d<1$ となり，$a=s$，$b=(s^2-d^2)\mathrm{/}4$ から領域と値域を同時に読める。

(1) $$s=\alpha +\beta ,d=\mathrm{\mid }\alpha -\beta \mathrm{\mid }$$とおく。3辺 $1,\alpha ,\beta$ が三角形をつくるための必要十分条件は$$s>1,0\le d<1.$$実際，$s>1>d$ なので $\alpha =(s+d)\mathrm{/}2$，$\beta =(s-d)\mathrm{/}2$ はともに正である。

解と係数の関係から$$a=s,b=\alpha \beta =\frac{s^2-d^2}{4}\mathrm{.}$$したがって $s>1,0\le d<1$ を動かすと$$a>1,\frac{a^2-1}{4}<b\le \frac{a^2}{4}$$を得る。

(2)
同じ $s,d$ を用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{\alpha \beta +1}{(\alpha +\beta {)}^2}}& {\displaystyle =\frac{(s^2-d^2)\mathrm{/}4+1}{s^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{4}+\frac{4-d^2}{4s^2}\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $s>1$，$0\le d<1$ だから$$\frac{1}{4}<R<\frac{5}{4}\mathrm{.}$$さらに，任意のこの範囲の $R$ に対し$$d=0,s=\frac{1}{\sqrt{R-1\mathrm{/}4}}$$と選べば $s>1$ であり，その値を実現する。したがって値域は$$\frac{1}{4}<R<\frac{5}{4}$$である。