一橋大学 2021年度 前期文系数学 第5問

$x=a+t$ とおくと積分区間は $-3\le t\le 3$ となり，$$(x-b)(x-c)=t^2+(2a-b-c)t+(a-b)(a-c)\mathrm{.}$$対称区間では一次の項の積分が0なので，与えられた条件は$${\int }_{-3}^3{t}^{2}dt+6(a-b)(a-c)=0.$$ここで$${\int }_{-3}^3{t}^{2}dt=18$$だから$$(a-b)(a-c)=-3.$$2つの整数因子は$$(a-b,a-c)=(1,-3),(-1,3),(3,-1),(-3,1)$$のいずれかである。$1\le a,b,c\le 6$ を満たすものを調べると$$\begin{array}{c}{\displaystyle (2,1,5),(2,5,1),(3,2,6),(3,6,2),}\\ {\displaystyle (4,1,5),(4,5,1),(5,2,6),(5,6,2)}\end{array}$$の8通りである。全事象は $6^3=216$ 通りだから，求める確率は$$\frac{8}{216}=\frac{1}{27}\mathrm{.}$$

定積分を直接計算して同じ積の条件を得る。2因子の絶対値が1と3で符号が逆であることから $\mathrm{\mid }b-c\mathrm{\mid }=4$ を先に数え，各 $(b,c)$ に対する $a$ の2候補を求める。

まず定積分を直接計算する。$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{a-3}^{a+3}(x-b)(x-c)dx}& {\displaystyle ={[\frac{x^3}{3}-\frac{b+c}{2}{x}^2+bcx]}_{a-3}^{a+3}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =6\{a^2-a(b+c)+bc+3\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =6\{(a-b)(a-c)+3\}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって積分が0となる条件は$$(a-b)(a-c)=-3.$$2因子は異符号で，絶対値が1と3である。よって$$\mathrm{\mid }b-c\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }(a-b)-(a-c)\mathrm{\mid }=4.$$サイコロの目の範囲で順序つきの $(b,c)$ は$$(1,5),(5,1),(2,6),(6,2)$$の4通りである。それぞれについて $a$ は両端から1だけ内側の2個であり，実際$$\begin{array}{cc}(b,c)& a\\ (1,5),(5,1)& 2,4\\ (2,6),(6,2)& 3,5\end{array}$$となる。したがって有利な順序つき三つ組は $4\times 2=8$ 通りであり，確率は$$\frac{8}{6^3}=\frac{1}{27}\mathrm{.}$$