一橋大学 2021年度文系数学第5問解答・解説

問題

サイコロを3回投げて出た目を順に $a, b, c$ とするとき，

\int_{a - 3}^{a + 3} (x - b) (x - c) d x = 0

となる確率を求めよ。

出典：一橋大学 2021年度前期文系第5問

積分区間の中心が $a$ なので $x = a + t$ とおく。対称区間では一次の項が消え，条件は $(a - b) (a - c) = - 3$ となる。整数の因数分解から順序つき三つ組を列挙する。

定積分を直接計算して同じ積の条件を得る。2因子の絶対値が1と3で符号が逆であることから $∣ b - c ∣ = 4$ を先に数え，各 $(b, c)$ に対する $a$ の2候補を求める。

$x = a + t$ とおくと積分区間は $- 3 \leq t \leq 3$ となり，

(x - b) (x - c) = t^{2} + (2 a - b - c) t + (a - b) (a - c) .

対称区間では一次の項の積分が0なので，与えられた条件は

\int_{- 3}^{3} t^{2} d t + 6 (a - b) (a - c) = 0.

ここで

\int_{- 3}^{3} t^{2} d t = 18

だから

(a - b) (a - c) = - 3.

2つの整数因子は

(a - b, a - c) = (1, - 3), (- 1, 3), (3, - 1), (- 3, 1)

のいずれかである。 $1 \leq a, b, c \leq 6$ を満たすものを調べると

(2, 1, 5), (2, 5, 1), (3, 2, 6), (3, 6, 2), (4, 1, 5), (4, 5, 1), (5, 2, 6), (5, 6, 2)

の8通りである。全事象は $6^{3} = 216$ 通りだから，求める確率は

\frac{8}{216} = \frac{1}{27} .

まず定積分を直接計算する。

\int_{a - 3}^{a + 3} (x - b) (x - c) d x = [\frac{x ^{3}}{3} - \frac{b + c}{2} x^{2} + b c x]_{a - 3}^{a + 3} = 6 {a^{2} - a (b + c) + b c + 3} = 6 {(a - b) (a - c) + 3} .

したがって積分が0となる条件は

(a - b) (a - c) = - 3.

2因子は異符号で，絶対値が1と3である。よって

∣ b - c ∣ = ∣ (a - b) - (a - c) ∣ = 4.

サイコロの目の範囲で順序つきの $(b, c)$ は

(1, 5), (5, 1), (2, 6), (6, 2)

の4通りである。それぞれについて $a$ は両端から1だけ内側の2個であり，実際

(b, c) (1, 5), (5, 1) (2, 6), (6, 2) a 2, 4 3, 5

となる。したがって有利な順序つき三つ組は $4 \times 2 = 8$ 通りであり，確率は

\frac{8}{6 ^{3}} = \frac{1}{27} .