一橋大学 2021年度 前期文系数学 第4問

(1)
$y=x^2\mathrm{/}k$ を円の式へ代入し，$u=x^2$ とおくと$$u+{(\frac{u}{k}-1)}^2=1.$$これを整理して$$u\{\frac{u}{k^2}+1-\frac{2}{k}\}=0$$を得る。$u=0$ は常に共有点 $(0,0)$ を与え，もう1つの解は$$u=k(2-k)$$である。これが正なら $$x=\pm \sqrt{k(2-k)}$$ の2点が加わる。$k>0$ と合わせて$$0<k<2.$$(2)
正の共有点を $P(x_0,y_0)$ とすると$$x_0=\sqrt{k(2-k)},y_0=2-k\mathrm{.}$$接線は$$y-y_0=\frac{2x_0}{k}(x-x_0)$$であり，放物線と接線の高さの差は$$\frac{x^2}{k}-\{y_0+\frac{2x_0}{k}(x-x_0)\}=\frac{(x-x_0{)}^2}{k}\mathrm{.}$$よって面積 $A(k)$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A(k)}& {\displaystyle ={\int }_0^{x_0}\frac{(x-x_0{)}^2}{k}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{x_0^3}{3k}=\frac{\sqrt{k}(2-k{)}^{3\mathrm{/}2}}{3}\mathrm{.}}\end{array}$$$A(k)>0$ なので，その二乗$$A(k{)}^2=\frac{1}{9}k(2-k{)}^3$$を最大化すればよい。$h(k)=k(2-k{)}^3$ とおくと$$h^{\mathrm{\prime }}(k)=(2-k{)}^2(2-4k)\mathrm{.}$$したがって $0<k<2$ で最大となるのは $k=1\mathrm{/}2$ のときであり，$$A\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{4}\mathrm{.}$$ゆえに最大値は $\sqrt{3}\mathrm{/}4$ である。

交点条件と面積式までは解法1と同様に求める。最大化では微分を使わず，重み $1:3$ の相加相乗平均を $k$ と $(2-k)\mathrm{/}3$ に適用する。

(1)
交点条件を整理すると$$x^2\{x^2-k(2-k)\}=0.$$原点のほかに正負1点ずつをもつ条件は $k(2-k)>0$ である。$k>0$ より$$0<k<2.$$(2)
正の交点の $x$ 座標を $$x_0=\sqrt{k(2-k)}$$ とする。放物線とその接線の差は $(x-x_0{)}^2\mathrm{/}k$ だから$$A(k)={\int }_0^{x_0}\frac{(x-x_0{)}^2}{k}dx=\frac{\sqrt{k}(2-k{)}^{3\mathrm{/}2}}{3}\mathrm{.}$$ここで $0<k<2$ のもとで，重み付き相加相乗平均より$$k^{1\mathrm{/}4}{\left(\frac{2-k}{3}\right)}^{3\mathrm{/}4}\le \frac{k+(2-k)}{4}=\frac{1}{2}\mathrm{.}$$4乗すると$$k(2-k{)}^3\le \frac{27}{16}\mathrm{.}$$等号条件は$$k=\frac{2-k}{3},k=\frac{1}{2}$$である。したがって$$A(k{)}^2=\frac{1}{9}k(2-k{)}^3\le \frac{3}{16}$$より$$\max A(k)=\frac{\sqrt{3}}{4}\mathrm{.}$$