一橋大学 2021年度文系数学第4問解答・解説

問題

$k > 0$ とする。円 $C$ と放物線 $S$ を

C : x^{2} + (y - 1)^{2} = 1, S : y = \frac{x ^{2}}{k}

で定める。以下の問いに答えよ。

(1) $C$ と $S$ が共有点をちょうど3個もつときの $k$ の範囲を求めよ。

(2) $k$ が(1)の範囲を動くとき， $C$ と $S$ の共有点のうち $x$ 座標が正の点を $P$ とする。 $P$ における $S$ の接線と， $S$ ， $y$ 軸とによって囲まれる領域の面積の最大値を求めよ。

出典：一橋大学 2021年度前期文系第4問

方針

解法1（微分で最大化）

交点では $u = x^{2}$ とおき，原点以外の2点が現れる条件を調べる。(2)は放物線と接線の差を完全平方にして面積を積分し，面積の二乗を微分して最大化する。

解法2（相加相乗平均で最大化）

交点条件と面積式までは解法1と同様に求める。最大化では微分を使わず，重み $1 : 3$ の相加相乗平均を $k$ と $(2 - k) /3$ に適用する。

解答

解法1（微分で最大化）

(1)

$y = x^{2} / k$ を円の式へ代入し， $u = x^{2}$ とおくと

u + (\frac{u}{k} - 1)^{2} = 1.

これを整理して

u {\frac{u}{k ^{2}} + 1 - \frac{2}{k}} = 0

を得る。 $u = 0$ は常に共有点 $(0, 0)$ を与え，もう1つの解は

u = k (2 - k)

である。これが正なら $x = \pm k (2 - k)$ の2点が加わる。 $k > 0$ と合わせて

0 < k < 2.

(2)

正の共有点を $P (x_{0}, y_{0})$ とすると

x_{0} = k (2 - k), y_{0} = 2 - k .

接線は

y - y_{0} = \frac{2 x _{0}}{k} (x - x_{0})

であり，放物線と接線の高さの差は

\frac{x ^{2}}{k} - {y_{0} + \frac{2 x _{0}}{k} (x - x_{0})} = \frac{( x - x _{0} ) ^{2}}{k} .

よって面積 $A (k)$ は

A (k) = \int_{0}^{x_{0}} \frac{( x - x _{0} ) ^{2}}{k} d x = \frac{x _{0}^{3}}{3 k} = \frac{k ( 2 - k ) ^{3/2}}{3} .

$A (k) > 0$ なので，その二乗

A (k)^{2} = \frac{1}{9} k (2 - k)^{3}

を最大化すればよい。 $h (k) = k (2 - k)^{3}$ とおくと

h^{'} (k) = (2 - k)^{2} (2 - 4 k) .

したがって $0 < k < 2$ で最大となるのは $k = 1/2$ のときであり，

A (\frac{1}{2}) = \frac{3}{4} .

ゆえに最大値は $3 /4$ である。

解法2（相加相乗平均で最大化）

(1)

交点条件を整理すると

x^{2} {x^{2} - k (2 - k)} = 0.

原点のほかに正負1点ずつをもつ条件は $k (2 - k) > 0$ である。 $k > 0$ より

0 < k < 2.

(2)

正の交点の $x$ 座標を $x_{0} = k (2 - k)$ とする。放物線とその接線の差は $(x - x_{0})^{2} / k$ だから

A (k) = \int_{0}^{x_{0}} \frac{( x - x _{0} ) ^{2}}{k} d x = \frac{k ( 2 - k ) ^{3/2}}{3} .

ここで $0 < k < 2$ のもとで，重み付き相加相乗平均より

k^{1/4} (\frac{2 - k}{3})^{3/4} \leq \frac{k + ( 2 - k )}{4} = \frac{1}{2} .

4乗すると

k (2 - k)^{3} \leq \frac{27}{16} .

等号条件は

k = \frac{2 - k}{3}, k = \frac{1}{2}

である。したがって

A (k)^{2} = \frac{1}{9} k (2 - k)^{3} \leq \frac{3}{16}

より

max A (k) = \frac{3}{4} .

一橋大学 2021年度文系数学 第4問

問題

方針

解法1（微分で最大化）

解法2（相加相乗平均で最大化）

解答

解法1（微分で最大化）

(1)

(2)

解法2（相加相乗平均で最大化）

(1)

(2)

一橋大学 2021年度
文系数学第4問