Evolton
方針
右辺を と素因数分解する。まず偶奇と3を法とする考察から を示す。二項の対称性により として2で割ると が決まり，さらに3を法として のどちらが1かを分ける。残る のべきは有限個なので，全候補を検証する。
解答
右辺を素因数分解するとである。
もし なら，偶奇から である。すると となり，3で割ればを得る。両指数が正なら左辺が3の倍数となり，どちらかが0なら他方の項が673となるので，いずれも不可能である。よって である。
同様に なら，3を法として である。このとき だが，偶奇と対称性から とすると となり不可能である。したがってである。
二項は交換できるから としてよい。 を使って元の式を2で割るとである。右辺は奇数だから，，すなわちでなければならず， である。よって を3で割るとここで である。
なら の左辺は となるので不可能である。 ならとなり，右辺に素因数7が現れるので不可能である。したがってであり， はとなる。
なので である。各候補についてとなり，2のべきは だけである。ゆえに二項を交換した場合も戻すと，求める組はである。
別解
解法2（2進・3進の指数を交差させる）
方針
各項を と見る。まず全指数が正であることを確認して6で割る。和が奇数かつ であるため，2の最小指数と3の最小指数が同じ項に来る場合は一方が1となり，残り336に素因数7が出て破綻する。したがって最小指数は二項に交差して現れ， に帰着する。
解答
偶奇と3を法とする考察により，指数0を含む場合は または に帰着し，いずれも成立しない。よって であり，元の式を6で割るとを得る。
の右辺は奇数なので，左辺の二項のうちちょうど一方が奇数である。また なので，二項のうちちょうど一方だけが3で割り切れない。
もし同じ項が「奇数」かつ「3で割り切れない」なら，その項は1，他方は となって の形ではない。よって，2の指数が0になる項と3の指数が0になる項は異なる。
二項の交換によりとしてよい。
を順に代入すると， が2のべきになるのはだけである。したがって，二項の交換も含めてである。
総評
公式問題・公式出題意図・参照解答を照合済み。公式意図は，剰余の性質で条件を絞り，対称性を使いつつ全可能性を検証することにある。最初から としてはいけず，指数0の場合を排除する論証が必要である。6で割った後は，2の最小指数と3の最小指数が別の項に現れると見抜けば へ短く帰着できる。最後に二項交換によるもう一組を忘れない。想定時間は20分程度。