一橋大学 2022年度文系数学第2問解答・解説

問題

$0 ≦ θ < 2 π$ とする。座標平面上の $3$ 点 $O (0, 0)$ ， $P (cos θ, sin θ)$ ， $Q (1, 3 sin 2 θ)$ が三角形をなすとき， $△ O P Q$ の面積の最大値を求めよ。

出典：一橋大学 2022年度前期文系第2問

方針

解法1（面積の平方を1変数化）

行列式で面積を表すと $2 S = ∣ sin θ (6 cos^{2} θ - 1) ∣$ となる。絶対値を外すため平方し， $u = cos^{2} θ$ とおけば， $0 ≦ u ≦ 1$ 上の3次関数 $G (u) = (1 - u) (6 u - 1)^{2}$ の最大値問題になる。端点と停留点をすべて比較する。

解法2（正弦を3次関数にする）

$t = sin θ$ とおくと，面積の2倍は $∣ - 6 t^{3} + 5 t ∣$ となる。 $t \in [- 1, 1]$ 上で奇関数 $h (t) = - 6 t^{3} + 5 t$ の絶対値を最大化する。導関数から $t = \pm 10 /6$ を得て，端点の値と比較する。

解答

解法1（面積の平方を1変数化）

三角形の面積を $S$ とする。点 $O$ が原点なので，行列式から

2 S = cos θ 1 sin θ 3 sin 2 θ = ∣3 cos θ sin 2 θ - sin θ ∣

である。ここで $sin 2 θ = 2 sin θ cos θ$ より

2 S = ∣ sin θ (6 cos^{2} θ - 1) ∣. (1)

$u = cos^{2} θ$ とおくと $0 ≦ u ≦ 1$ であり， $sin^{2} θ = 1 - u$ だから

(2 S)^{2} = (1 - u) (6 u - 1)^{2} .

$G (u) = (1 - u) (6 u - 1)^{2}$ とおけば

G^{'} (u) = (6 u - 1) (13 - 18 u) .

したがって，端点と停留点

u = 0, 1, \frac{1}{6}, \frac{13}{18}

における値を比べればよい。実際，

G (0) = 1, G (1) = 0, G (\frac{1}{6}) = 0, G (\frac{13}{18}) = \frac{250}{81} .

よって

(2 S)^{2} ≦ \frac{250}{81}, 2 S ≦ \frac{5 10}{9} .

$u = 13/18$ に対応する $θ$ は存在し，このとき $S > 0$ なので3点は三角形をなす。したがって面積の最大値は

\frac{5 10}{18}

である。

解法2（正弦を3次関数にする）

$1$ と同じ面積表示から

2 S = ∣ sin θ (6 cos^{2} θ - 1) ∣

である。 $t = sin θ$ とおくと $- 1 ≦ t ≦ 1$ ， $cos^{2} θ = 1 - t^{2}$ なので

2 S = ∣ - 6 t^{3} + 5 t ∣. (1)

$h (t) = - 6 t^{3} + 5 t$ とおく。 $h$ は奇関数であり

h^{'} (t) = 5 - 18 t^{2} .

よって停留点は

t = \pm \frac{5}{18} = \pm \frac{10}{6}

である。正の停留点では

h (\frac{10}{6}) = \frac{5 10}{9} .

一方，端点では $∣ h (\pm 1) ∣ = 1$ であり，零点では $∣ h ∣ = 0$ である。したがって

- 1 ≦ t ≦ 1 max ∣ h (t) ∣ = \frac{5 10}{9} .

ゆえに $1$ から

max S = \frac{5 10}{18}

を得る。

変数 $t = sin θ$ に対する面積の形は次図のとおりで，左右対称の最高点が上の値を与える。

一橋大学 2022年度文系数学 第2問

問題

方針

解法1（面積の平方を1変数化）

解法2（正弦を3次関数にする）

解答

解法1（面積の平方を1変数化）

解法2（正弦を3次関数にする）

一橋大学 2022年度
文系数学第2問