一橋大学 2022年度 前期文系数学 第2問

三角形の面積を $S$ とする。点 $\mathrm{O}$ が原点なので，行列式から$$2S=\mid \mid \begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ 1& 3\sin 2\theta \end{array}\mid \mid =\mathrm{\mid }3\cos \theta \sin 2\theta -\sin \theta \mathrm{\mid }$$である。ここで $$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$$ より$$\begin{array}{cccc}& 2S=\mathrm{\mid }\sin \theta (6{\cos }^2\theta -1)\mathrm{\mid }\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$$u={\cos }^2\theta$ とおくと $0\leqq u\leqq 1$ であり，${\sin }^2\theta =1-u$ だから$$(2S{)}^2=(1-u)(6u-1{)}^2\mathrm{.}$$$G(u)=(1-u)(6u-1{)}^2$ とおけば$$G^{\mathrm{\prime }}(u)=(6u-1)(13-18u)\mathrm{.}$$したがって，端点と停留点$$u=0,1,{\displaystyle \frac{1}{6}},{\displaystyle \frac{13}{18}}$$における値を比べればよい。実際，$$G(0)=1,G(1)=0,G\left({\displaystyle \frac{1}{6}}\right)=0,G\left({\displaystyle \frac{13}{18}}\right)={\displaystyle \frac{250}{81}}\mathrm{.}$$よって$$(2S{)}^2\leqq {\displaystyle \frac{250}{81}},2S\leqq {\displaystyle \frac{5\sqrt{10}}{9}}\mathrm{.}$$$u=13\mathrm{/}18$ に対応する $\theta$ は存在し，このとき $S>0$ なので3点は三角形をなす。したがって面積の最大値は$${\displaystyle \frac{5\sqrt{10}}{18}}$$である。

$t=\sin \theta$ とおくと，面積の2倍は $\mathrm{\mid }-6t^3+5t\mathrm{\mid }$ となる。$t\in [-1,1]$ 上で奇関数 $h(t)=-6t^3+5t$ の絶対値を最大化する。導関数から $t=\pm \sqrt{10}\mathrm{/}6$ を得て，端点の値と比較する。

$1$ と同じ面積表示から$$2S=\mathrm{\mid }\sin \theta (6{\cos }^2\theta -1)\mathrm{\mid }$$である。$t=\sin \theta$ とおくと $-1\leqq t\leqq 1$，${\cos }^2\theta =1-t^2$ なので$$\begin{array}{cccc}& 2S=\mathrm{\mid }-6t^3+5t\mathrm{\mid }\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$$h(t)=-6t^3+5t$ とおく。$h$ は奇関数であり$$h^{\mathrm{\prime }}(t)=5-18t^2\mathrm{.}$$よって停留点は$$t=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{5}{18}}}=\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{6}}$$である。正の停留点では$$h\left({\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{6}}\right)={\displaystyle \frac{5\sqrt{10}}{9}}\mathrm{.}$$一方，端点では $\mathrm{\mid }h(\pm 1)\mathrm{\mid }=1$ であり，零点では $\mathrm{\mid }h\mathrm{\mid }=0$ である。したがって$$\underset{-1\leqq t\leqq 1}{\max }\mathrm{\mid }h(t)\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{5\sqrt{10}}{9}}\mathrm{.}$$ゆえに $1$ から$$\max S={\displaystyle \frac{5\sqrt{10}}{18}}$$を得る。

変数 $t=\sin \theta$ に対する面積の形は次図のとおりで，左右対称の最高点が上の値を与える。