一橋大学 2022年度 前期文系数学 第4問

立方体 $D$ は$$0\leqq x\leqq 1,0\leqq y\leqq 1,0\leqq z\leqq 1$$で表される凸集合である。したがって，$P$ が $D$ 全体を動くときの線分 $AP$ の通過領域 $W$ は，$D$ と点 $A$ の凸包である。

点 $A$ が立方体の外にあるとき，$W\setminus D$ は，$A$ から見える面を底面とする四角錐に分割できる。各面の面積は1で，四角錐の高さは $A$ からその面までの距離である。

区間 $[0,1]$ の外へ出ている距離を$$\delta (u)=\{\begin{array}{ll}-u& (u<0),\\ 0& (0\leqq u\leqq 1),\\ u-1& (u>1)\end{array}$$とおく。点 $A$ の座標は $(t-1,t,t+1)$ なので$$\begin{array}{cccc}& f(t)=1+{\displaystyle \frac{1}{3}}\{\delta (t-1)+\delta (t)+\delta (t+1)\}\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$(1)

$t=-1$ のとき $A=(-2,-1,0)$ であり，$x=0$ の面までの距離が2，$y=0$ の面までの距離が1である。よって$$f(-1)=1+{\displaystyle \frac{1}{3}}(2+1)=2.$$(2)

境目は $t=-1,0,1,2$ である。$1$ から順に計算すると$$\begin{array}{cccc}& f(t)=\{\begin{array}{ll}1-t& (t<-1),\\ {\displaystyle \frac{4-2t}{3}}& (-1\leqq t<0),\\ {\displaystyle \frac{4}{3}}& (0\leqq t\leqq 1),\\ {\displaystyle \frac{2t+2}{3}}& (1<t<2),\\ t& (2\leqq t)\end{array}& & \text{(2)}\end{array}$$である。各境目で左右の値は一致する。

$2$ のグラフは次の折れ線である。

したがって $0\leqq t\leqq 1$ のとき最小となり，最小値は$${\displaystyle \frac{4}{3}}$$である。

区間 $[0,1]$ から外へ出た距離は $\delta (u)=\{\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }u-1\mathrm{\mid }-1\}\mathrm{/}2$ と表せる。これを3座標 $t-1,t,t+1$ に適用すると，$f(t)$ が4つの折点をもつ絶対値関数として一式で得られる。各区間の傾きからグラフを決定し，中央区間が水平になることから最小値を読む。

区間 $[0,1]$ の外へ出た距離は$$\begin{array}{cccc}& \delta (u)={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }u-1\mathrm{\mid }-1}{2}}& & \text{(1)}\end{array}$$と一式で表せる。実際，$u<0$，$0\leqq u\leqq 1$，$u>1$ の各場合に $1$ はそれぞれ $-u,0,u-1$ となる。

見える各面を底面とする四角錐を加える体積公式と $1$ から$$\begin{array}{cccc}& f(t)=1+{\displaystyle \frac{1}{3}}\{\delta (t-1)+\delta (t)+\delta (t+1)\}={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}(\mathrm{\mid }t+1\mathrm{\mid }+2\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }+2\mathrm{\mid }t-1\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }t-2\mathrm{\mid })\mathrm{.}& & \text{(2)}\end{array}$$(1)

$2$ に $t=-1$ を代入すれば$$f(-1)={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}(0+2+4+3)=2.$$(2)

$2$ の折点は $t=-1,0,1,2$ であり，左から各区間における傾きは$$-1,-{\displaystyle \frac{2}{3}},0,{\displaystyle \frac{2}{3}},1$$となる。さらに$$f(0)=f(1)={\displaystyle \frac{4}{3}},f(-1)=f(2)=2.$$したがってグラフは，$(-1,2)$，$(0,4\mathrm{/}3)$，$(1,4\mathrm{/}3)$，$(2,2)$ を順に結び，両端を傾き $-1,1$ の半直線で延ばした折れ線である。中央の $0\leqq t\leqq 1$ は水平で，最小値は$${\displaystyle \frac{4}{3}}$$であり，$0\leqq t\leqq 1$ のすべてで達する。