一橋大学 2022年度 前期文系数学 第5問

赤玉2個・白玉1個の箱を $A$，赤玉1個・白玉2個の箱を $B$ とする。

(1)

$n$ 回目に箱 $A$ を選ぶ確率を $r_n$ とする。このとき$$\begin{array}{cccc}& p_n={\displaystyle \frac{2}{3}}{r}_n+{\displaystyle \frac{1}{3}}(1-r_n)={\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}{r}_n\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$最初は無作為に箱を選ぶので $r_1=1\mathrm{/}2$，したがって $p_1=1\mathrm{/}2$ である。

次回に箱 $A$ を選ぶのは，箱 $A$ から赤玉を出して同じ箱を選ぶ場合，または箱 $B$ から白玉を出して別の箱を選ぶ場合である。よって$$r_{n+1}={\displaystyle \frac{2}{3}}{r}_n+{\displaystyle \frac{2}{3}}(1-r_n)={\displaystyle \frac{2}{3}}\mathrm{.}$$したがって $n\geqq 2$ では $r_n=2\mathrm{/}3$ であり，$1$ から$$p_1={\displaystyle \frac{1}{2}},p_n={\displaystyle \frac{5}{9}}(n\geqq 2)$$を得る。

(2)

$n$ 回目に箱 $A$ を選ぶ確率を $s_n$ とする。$s_1=1\mathrm{/}2$ であり$$\begin{array}{cccc}& q_n={\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}{s}_n\mathrm{.}& & \text{(2)}\end{array}$$赤玉なら同じ箱を選び，白玉なら次の箱を無作為に選ぶ。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle s_{n+1}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{3}}{s}_n+{\displaystyle \frac{1}{2}}\{{\displaystyle \frac{1}{3}}{s}_n+{\displaystyle \frac{2}{3}}(1-s_n)\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}{s}_n+{\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$定常値 $2\mathrm{/}3$ との差を取ると$$s_{n+1}-{\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{1}{2}}(s_n-{\displaystyle \frac{2}{3}})\mathrm{.}$$ゆえに$$s_n={\displaystyle \frac{2}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{6}}{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{n-1}={\displaystyle \frac{2}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n\mathrm{.}$$$2$ へ代入して$$q_n={\displaystyle \frac{5}{9}}-{\displaystyle \frac{1}{9}}{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n$$を得る。$n=1$ を代入すると $q_1=1\mathrm{/}2$ となり，初回とも一致する。

$1$は現在選んでいる箱が $A,B$ のどちらでも，規則を1回進めた次に赤玉を引く確率が $5\mathrm{/}9$ になることを条件付き確率で直接示す。$2$は箱 $A,B$ の選択を2状態のマルコフ連鎖と見て，遷移行列の定常分布と固有値 $1\mathrm{/}2$ から箱選択確率を求める。

赤玉の多い箱を $A$，白玉の多い箱を $B$ とする。

(1)

$n$ 回目の箱が $A$，$B$ の各場合に，次回に赤玉を引く条件付き確率はそれぞれ$${\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{5}{9}}$$である。よって現在の箱によらず次回は $5\mathrm{/}9$ である。初回だけは$$p_1={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$なので，$p_1=1\mathrm{/}2$，$p_n=5\mathrm{/}9(n\geqq 2)$ となる。

(2)

箱の選択を状態 $A,B$ とする。現在 $A$，$B$ から次に $A$ へ移る確率はそれぞれ $5\mathrm{/}6$，$1\mathrm{/}3$ なので，行ベクトルに対する遷移行列は$$T=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{5}{6}}& {\displaystyle \frac{1}{6}}\\ {\displaystyle \frac{1}{3}}& {\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}\right)$$定常分布は $(2\mathrm{/}3,1\mathrm{/}3)$，もう一つの固有値は $1\mathrm{/}2$ である。また$$({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})=({\displaystyle \frac{2}{3}},{\displaystyle \frac{1}{3}})+(-{\displaystyle \frac{1}{6}},{\displaystyle \frac{1}{6}})$$なので，$n$ 回目の状態確率は$$({\displaystyle \frac{2}{3}},{\displaystyle \frac{1}{3}})+{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{n-1}(-{\displaystyle \frac{1}{6}},{\displaystyle \frac{1}{6}})\mathrm{.}$$したがって $A$ を選ぶ確率を $s_n$ とすれば$$\begin{array}{rl}{\displaystyle s_n}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{6}}{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{n-1},}\\ {\displaystyle q_n}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{3}}{s}_n+{\displaystyle \frac{1}{3}}(1-s_n)={\displaystyle \frac{5}{9}}-{\displaystyle \frac{1}{9}}{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n\mathrm{.}}\end{array}$$