一橋大学 2022年度文系数学第5問解答・解説

問題

中身の見えない $2$ つの箱があり， $1$ つの箱には赤玉 $2$ つと白玉 $1$ つが入っており，もう $1$ つの箱には赤玉 $1$ つと白玉 $2$ つが入っている。どちらかの箱を選び，選んだ箱の中から玉を $1$ つ取り出して元に戻す，という操作を繰り返す。

(1) $1$ 回目は箱を無作為に選び， $2$ 回目以降は，前回取り出した玉が赤玉なら前回と同じ箱，前回取り出した玉が白玉なら前回とは異なる箱を選ぶ。 $n$ 回目に赤玉を取り出す確率 $p_{n}$ を求めよ。

(2) $1$ 回目は箱を無作為に選び， $2$ 回目以降は，前回取り出した玉が赤玉なら前回と同じ箱，前回取り出した玉が白玉なら箱を無作為に選ぶ。 $n$ 回目に赤玉を取り出す確率 $q_{n}$ を求めよ。

出典：一橋大学 2022年度前期文系第5問

方針

解法1（赤玉の多い箱を選ぶ確率）

赤玉2個の箱を $A$ ，赤玉1個の箱を $B$ とし， $n$ 回目に $A$ を選ぶ確率を状態変数にする。 $A$ を選ぶ確率が $r$ なら赤玉の確率は $1/3 + r /3$ である。 $1$ では次回の箱選択確率が直ちに $2/3$ に固定され， $2$ では一次漸化式の定常値 $2/3$ との差を取る。

解法2（条件付き確率と遷移行列）

$1$ は現在選んでいる箱が $A, B$ のどちらでも，規則を1回進めた次に赤玉を引く確率が $5/9$ になることを条件付き確率で直接示す。 $2$ は箱 $A, B$ の選択を2状態のマルコフ連鎖と見て，遷移行列の定常分布と固有値 $1/2$ から箱選択確率を求める。

解答

解法1（赤玉の多い箱を選ぶ確率）

赤玉2個・白玉1個の箱を $A$ ，赤玉1個・白玉2個の箱を $B$ とする。

(1)

$n$ 回目に箱 $A$ を選ぶ確率を $r_{n}$ とする。このとき

p_{n} = \frac{2}{3} r_{n} + \frac{1}{3} (1 - r_{n}) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} r_{n} . (1)

最初は無作為に箱を選ぶので $r_{1} = 1/2$ ，したがって $p_{1} = 1/2$ である。

次回に箱 $A$ を選ぶのは，箱 $A$ から赤玉を出して同じ箱を選ぶ場合，または箱 $B$ から白玉を出して別の箱を選ぶ場合である。よって

r_{n + 1} = \frac{2}{3} r_{n} + \frac{2}{3} (1 - r_{n}) = \frac{2}{3} .

したがって $n ≧ 2$ では $r_{n} = 2/3$ であり， $1$ から

p_{1} = \frac{1}{2}, p_{n} = \frac{5}{9} (n ≧ 2)

を得る。

(2)

$n$ 回目に箱 $A$ を選ぶ確率を $s_{n}$ とする。 $s_{1} = 1/2$ であり

q_{n} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} s_{n} . (2)

赤玉なら同じ箱を選び，白玉なら次の箱を無作為に選ぶ。したがって

s_{n + 1} = \frac{2}{3} s_{n} + \frac{1}{2} {\frac{1}{3} s_{n} + \frac{2}{3} (1 - s_{n})} = \frac{1}{2} s_{n} + \frac{1}{3} .

定常値 $2/3$ との差を取ると

s_{n + 1} - \frac{2}{3} = \frac{1}{2} (s_{n} - \frac{2}{3}) .

ゆえに

s_{n} = \frac{2}{3} - \frac{1}{6} (\frac{1}{2})^{n - 1} = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2})^{n} .

$2$ へ代入して

q_{n} = \frac{5}{9} - \frac{1}{9} (\frac{1}{2})^{n}

を得る。 $n = 1$ を代入すると $q_{1} = 1/2$ となり，初回とも一致する。

解法2（条件付き確率と遷移行列）

赤玉の多い箱を $A$ ，白玉の多い箱を $B$ とする。

(1)

$n$ 回目の箱が $A$ ， $B$ の各場合に，次回に赤玉を引く条件付き確率はそれぞれ

\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{5}{9}

である。よって現在の箱によらず次回は $5/9$ である。初回だけは

p_{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{2}

なので， $p_{1} = 1/2$ ， $p_{n} = 5/9 (n ≧ 2)$ となる。

(2)

箱の選択を状態 $A, B$ とする。現在 $A$ ， $B$ から次に $A$ へ移る確率はそれぞれ $5/6$ ， $1/3$ なので，行ベクトルに対する遷移行列は

T = \frac{5}{6} \frac{1}{3} \frac{1}{6} \frac{2}{3}

定常分布は $(2/3, 1/3)$ ，もう一つの固有値は $1/2$ である。また

(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{1}{3}) + (- \frac{1}{6}, \frac{1}{6})

なので， $n$ 回目の状態確率は

(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2})^{n - 1} (- \frac{1}{6}, \frac{1}{6}) .

したがって $A$ を選ぶ確率を $s_{n}$ とすれば

s_{n} q_{n} = \frac{2}{3} - \frac{1}{6} (\frac{1}{2})^{n - 1}, = \frac{2}{3} s_{n} + \frac{1}{3} (1 - s_{n}) = \frac{5}{9} - \frac{1}{9} (\frac{1}{2})^{n} .

一橋大学 2022年度文系数学 第5問

問題

方針

解法1（赤玉の多い箱を選ぶ確率）

解法2（条件付き確率と遷移行列）

解答

解法1（赤玉の多い箱を選ぶ確率）

(1)

(2)

解法2（条件付き確率と遷移行列）

(1)

(2)

一橋大学 2022年度
文系数学第5問