一橋大学 2022年度 前期文系数学 第3問

(1)

$x\geqq 0,y\geqq 0$ とする。このとき $x+y\geqq 0$ であり$$(x+y{)}^2-(x-y{)}^2=4xy\geqq 0$$だから$$\mathrm{\mid }x-y\mathrm{\mid }\leqq x+y$$である。

逆に $\mathrm{\mid }x-y\mathrm{\mid }\leqq x+y$ とする。左辺は0以上なので $x+y\geqq 0$ である。したがって両辺を平方でき$$(x-y{)}^2\leqq (x+y{)}^2$$より $xy\geqq 0$ を得る。$xy\geqq 0$ かつ $x+y\geqq 0$ なので，$x,y$ はともに0以上である。

以上から$$\mathrm{\mid }x-y\mathrm{\mid }\leqq x+y⟺x\geqq 0\text{ かつ }y\geqq 0$$が示された。

(2) $$X=1-x^2-y^2,Y=x^2-y$$とおくと$$X-Y=1+y-2x^2-y^2,X+Y=1-y-y^2\mathrm{.}$$よって与えられた不等式は$$\mathrm{\mid }X-Y\mathrm{\mid }\leqq X+Y$$である。$1$ の結果により，これは$$X\geqq 0,Y\geqq 0$$と同値である。すなわち$$\begin{array}{cccc}& x^2+y^2\leqq 1,y\leqq x^2& & \text{(1)}\end{array}$$である。

円 $x^2+y^2=1$ と放物線 $y=x^2$ の交点では$$y+y^2=1$$だから$$y={\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2}},x=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2}}}\mathrm{.}$$したがって求める領域は，単位円の内部および周上で，放物線 $y=x^2$ の下側にある次図の青色部分である。境界はすべて含む。

$1$ は $-x-y\leqq x-y\leqq x+y$ と同値変形すれば，各辺から $x\geqq 0,y\geqq 0$ が直接出る。$2$ は $L=1+y-2x^2-y^2$，$R=1-y-y^2$ とおき，$\mathrm{\mid }L\mathrm{\mid }\leqq R$ を $-R\leqq L\leqq R$ に分解する。得られた2条件から逆向きも成立することを確認する。

(1) $$\mathrm{\mid }x-y\mathrm{\mid }\leqq x+y⟺-(x+y)\leqq x-y\leqq x+y⟺x\geqq 0\text{ かつ }y\geqq 0$$である。最後の同値は，左側の不等式が $x\geqq 0$，右側が $y\geqq 0$ と同値であることによる。

(2)

$L=1+y-2x^2-y^2$，$R=1-y-y^2$ とおくと$$\begin{array}{cccc}& \mathrm{\mid }L\mathrm{\mid }\leqq R⟺\{\begin{array}{l}L+R\geqq 0,\\ R-L\geqq 0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2\leqq 1,\\ y\leqq x^2\end{array}& & \text{(2)}\end{array}$$である。ここでは $$\mathrm{\mid }L\mathrm{\mid }\leqq R⟺-R\leqq L\leqq R$$ を用いたので，逆向きも含む完全な同値変形である。

よって領域は$$x^2+y^2\leqq 1,y\leqq x^2$$であり，単位円内で放物線 $y=x^2$ の下側の部分である。円と放物線の共有点は$$(\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2}}},{\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2}})$$で，境界を含む。