一橋大学 2022年度文系数学第3問解答・解説

問題

次の問いに答えよ。

(1) 実数 $x, y$ について， $∣ x - y ∣ ≦ x + y$ であることの必要十分条件は， $x ≧ 0$ かつ $y ≧ 0$ であることを示せ。

(2) 次の不等式で定まる $x y$ 平面上の領域を図示せよ。

∣1 + y - 2 x^{2} - y^{2} ∣ ≦ 1 - y - y^{2}

出典：一橋大学 2022年度前期文系第3問

方針

解法1（(1)をそのまま適用）

$1$ は $x + y ≧ 0$ を確認して平方することで必要十分性を示す。 $2$ では絶対値の中身と右辺を $X - Y$ ， $X + Y$ と見抜く。具体的に $X = 1 - x^{2} - y^{2}$ ， $Y = x^{2} - y$ とおけば， $1$ から一度に $X ≧ 0, Y ≧ 0$ が得られる。交点も求めて図示する。

解法2（二重不等式へ直接分解）

$1$ は $- x - y ≦ x - y ≦ x + y$ と同値変形すれば，各辺から $x ≧ 0, y ≧ 0$ が直接出る。 $2$ は $L = 1 + y - 2 x^{2} - y^{2}$ ， $R = 1 - y - y^{2}$ とおき， $∣ L ∣ ≦ R$ を $- R ≦ L ≦ R$ に分解する。得られた2条件から逆向きも成立することを確認する。

解答

解法1（(1)をそのまま適用）

(1)

$x ≧ 0, y ≧ 0$ とする。このとき $x + y ≧ 0$ であり

(x + y)^{2} - (x - y)^{2} = 4 x y ≧ 0

だから

∣ x - y ∣ ≦ x + y

である。

逆に $∣ x - y ∣ ≦ x + y$ とする。左辺は0以上なので $x + y ≧ 0$ である。したがって両辺を平方でき

(x - y)^{2} ≦ (x + y)^{2}

より $x y ≧ 0$ を得る。 $x y ≧ 0$ かつ $x + y ≧ 0$ なので， $x, y$ はともに0以上である。

以上から

∣ x - y ∣ ≦ x + y ⟺ x ≧ 0 かつ y ≧ 0

が示された。

(2)

X = 1 - x^{2} - y^{2}, Y = x^{2} - y

とおくと

X - Y = 1 + y - 2 x^{2} - y^{2}, X + Y = 1 - y - y^{2} .

よって与えられた不等式は

∣ X - Y ∣ ≦ X + Y

である。 $1$ の結果により，これは

X ≧ 0, Y ≧ 0

と同値である。すなわち

x^{2} + y^{2} ≦ 1, y ≦ x^{2} (1)

である。

円 $x^{2} + y^{2} = 1$ と放物線 $y = x^{2}$ の交点では

y + y^{2} = 1

だから

y = \frac{5 - 1}{2}, x = \pm \frac{5 - 1}{2} .

したがって求める領域は，単位円の内部および周上で，放物線 $y = x^{2}$ の下側にある次図の青色部分である。境界はすべて含む。

解法2（二重不等式へ直接分解）

(1)

∣ x - y ∣ ≦ x + y ⟺ - (x + y) ≦ x - y ≦ x + y ⟺ x ≧ 0 かつ y ≧ 0

である。最後の同値は，左側の不等式が $x ≧ 0$ ，右側が $y ≧ 0$ と同値であることによる。

(2)

$L = 1 + y - 2 x^{2} - y^{2}$ ， $R = 1 - y - y^{2}$ とおくと

∣ L ∣ ≦ R ⟺ {L + R ≧ 0, R - L ≧ 0 ⟺ {x^{2} + y^{2} ≦ 1, y ≦ x^{2} (2)

である。ここでは $∣ L ∣ ≦ R ⟺ - R ≦ L ≦ R$ を用いたので，逆向きも含む完全な同値変形である。

よって領域は

x^{2} + y^{2} ≦ 1, y ≦ x^{2}

であり，単位円内で放物線 $y = x^{2}$ の下側の部分である。円と放物線の共有点は

\pm \frac{5 - 1}{2}, \frac{5 - 1}{2}

で，境界を含む。

一橋大学 2022年度文系数学 第3問

問題

方針

解法1（(1)をそのまま適用）

解法2（二重不等式へ直接分解）

解答

解法1（(1)をそのまま適用）

(1)

(2)

解法2（二重不等式へ直接分解）

(1)

(2)

一橋大学 2022年度
文系数学第3問