一橋大学 2023年度 前期文系数学 第1問

${}_n{\mathrm{C}}_k$ は正である。組合せの比を用いると$${}_{n+2}{\mathrm{C}}_{k+1}=\frac{(n+2)(n+1)}{(k+1)(n-k+1)}{}_n{\mathrm{C}}_k,$$また$${}_n{\mathrm{C}}_{k-1}=\frac{k}{n-k+1}{}_n{\mathrm{C}}_k,{}_n{\mathrm{C}}_{k+1}=\frac{n-k}{k+1}{}_n{\mathrm{C}}_k$$である。与えられた等式を ${}_n{\mathrm{C}}_k$ で割り，さらに $(k+1)(n-k+1)$ を掛けると$$(n+2)(n+1)=2\{k(k+1)+(n-k)(n-k+1)\}$$となる。整理して$$(2k-n{)}^2=n+2$$を得る。

$2\leqq n\leqq 20$ だから $4\leqq n+2\leqq 22$ であり，$n+2$ が平方数となる可能性は$$n+2=4,9,16$$だけである。すなわち $n=2,7,14$ である。

$n=2$ のとき $\mathrm{\mid }2k-n\mathrm{\mid }=2$ より $k=0,2$ となり，範囲 $1\leqq k\leqq n-1$ を満たさない。$n=7$ のとき $\mathrm{\mid }2k-7\mathrm{\mid }=3$ より $k=2,5$ である。$n=14$ のとき $\mathrm{\mid }2k-14\mathrm{\mid }=4$ より $k=5,9$ である。

したがって求める組は$$(n,k)=(7,2),(7,5),(14,5),(14,9)$$である。

組合せを階乗で表して共通因子を消し、$r=2k-n$ と置く。等式は $r^2=n+2$ となるので、$r$ の範囲と偶奇から候補を直接列挙する。

与式を階乗で表し、正の共通因子 $n!\mathrm{/}\{k!(n-k)!\}$ を消すと$$\frac{(n+2)(n+1)}{(k+1)(n-k+1)}=2\{\frac{k}{n-k+1}+\frac{n-k}{k+1}\}\mathrm{.}$$分母を払って整理すれば$$4k^2-4nk+n^2=n+2$$である。ここで$$r=2k-n$$とおくと $r$ は整数で$$r^2=n+2,n=r^2-2,k=\frac{r^2+r-2}{2}$$となる。$2\leqq n\leqq 20$ より $4\leqq r^2\leqq 22$ だから$$r=\pm 2,\pm 3,\pm 4$$だけを調べればよい。

$r=\pm 2$ では $n=2$、$k=2,0$ となり $1\leqq k\leqq n-1$ を満たさない。
$r=\pm 3$ では $n=7$、$k=5,2$、
$r=\pm 4$ では $n=14$、$k=9,5$ となり、いずれも範囲を満たす。
よって$$(n,k)=(7,2),(7,5),(14,5),(14,9)$$である。