一橋大学 2023年度文系数学第1問解答・解説

問題

$n$ を $2$ 以上 $20$ 以下の整数， $k$ を $1$ 以上 $n - 1$ 以下の整数とする．

_{n + 2} C_{k + 1} = 2 (_{n} C_{k - 1} +_{n} C_{k + 1})

が成り立つような整数の組 $(n, k)$ を求めよ．

出典：一橋大学 2023年度前期文系第1問

方針

解法1

両辺を $_{n} C_{k}$ で割り，組合せの比を $n, k$ の式に直す。整理すると $(2 k - n)^{2} = n + 2$ となるので， $2 ≦ n ≦ 20$ から $n + 2$ が取り得る平方数だけを調べる。

解法2（中心からのずれを整数文字で置く方法）

組合せを階乗で表して共通因子を消し、 $r = 2 k - n$ と置く。等式は $r^{2} = n + 2$ となるので、 $r$ の範囲と偶奇から候補を直接列挙する。

解答

解法1

$_{n} C_{k}$ は正である。組合せの比を用いると

_{n + 2} C_{k + 1} = \frac{( n + 2 ) ( n + 1 )}{( k + 1 ) ( n - k + 1 )}_{n} C_{k},

また

_{n} C_{k - 1} = \frac{k}{n - k + 1}_{n} C_{k},_{n} C_{k + 1} = \frac{n - k}{k + 1}_{n} C_{k}

である。与えられた等式を $_{n} C_{k}$ で割り，さらに $(k + 1) (n - k + 1)$ を掛けると

(n + 2) (n + 1) = 2 {k (k + 1) + (n - k) (n - k + 1)}

となる。整理して

(2 k - n)^{2} = n + 2

を得る。

$2 ≦ n ≦ 20$ だから $4 ≦ n + 2 ≦ 22$ であり， $n + 2$ が平方数となる可能性は

n + 2 = 4, 9, 16

だけである。すなわち $n = 2, 7, 14$ である。

$n = 2$ のとき $∣2 k - n ∣ = 2$ より $k = 0, 2$ となり，範囲 $1 ≦ k ≦ n - 1$ を満たさない。 $n = 7$ のとき $∣2 k - 7∣ = 3$ より $k = 2, 5$ である。 $n = 14$ のとき $∣2 k - 14∣ = 4$ より $k = 5, 9$ である。

したがって求める組は

(n, k) = (7, 2), (7, 5), (14, 5), (14, 9)

である。

解法2（中心からのずれを整数文字で置く方法）

与式を階乗で表し、正の共通因子 $n! / {k! (n - k)!}$ を消すと

\frac{( n + 2 ) ( n + 1 )}{( k + 1 ) ( n - k + 1 )} = 2 {\frac{k}{n - k + 1} + \frac{n - k}{k + 1}} .

分母を払って整理すれば

4 k^{2} - 4 nk + n^{2} = n + 2

である。ここで

r = 2 k - n

とおくと $r$ は整数で

r^{2} = n + 2, n = r^{2} - 2, k = \frac{r ^{2} + r - 2}{2}

となる。 $2 ≦ n ≦ 20$ より $4 ≦ r^{2} ≦ 22$ だから

r = \pm 2, \pm 3, \pm 4

だけを調べればよい。

$r = \pm 2$ では $n = 2$ 、 $k = 2, 0$ となり $1 ≦ k ≦ n - 1$ を満たさない。 $r = \pm 3$ では $n = 7$ 、 $k = 5, 2$ 、 $r = \pm 4$ では $n = 14$ 、 $k = 9, 5$ となり、いずれも範囲を満たす。よって

(n, k) = (7, 2), (7, 5), (14, 5), (14, 9)

である。

一橋大学 2023年度文系数学 第1問

問題

方針

解法1

解法2（中心からのずれを整数文字で置く方法）

解答

解法1

解法2（中心からのずれを整数文字で置く方法）

一橋大学 2023年度
文系数学第1問