一橋大学 2023年度文系数学第4問解答・解説

問題

$x y$ 平面上で， $x$ 座標と $y$ 座標がともに正の整数であるような各点に，右の図のような番号をつける．点 $(m, n)$ につけた番号を $f (m, n)$ とする．たとえば， $f (1, 1) = 1 ，$ $f (3, 4) = 19$ である．(1)　 $f (m, n)$ $+ f (m + 1, n + 1)$ $= 2 f (m, n + 1)$ が成り立つことを示せ．(2)　 $f (m, n)$ $+ f (m + 1, n)$ $+ f (m, n + 1)$ $+ f (m + 1, n + 1) = 2023$ となるような整数の組 $(m, n)$ を求めよ．

出典：一橋大学 2023年度前期文系第4問

方針

解法1

図の番号は， $m + n$ が一定の斜め列ごとに並び，その列の中では $n$ の小さい方から大きい方へ進む規則になっている。したがって $f (m, n) = \frac{( m + n - 2 ) ( m + n - 1 )}{2} + n$ と表せる。この式を使って(1)を恒等式として示し，(2)は $S = m + n$ と置いて範囲から一意に決める。

解法2（隣接点の番号差を使う方法）

$S = m + n$ とし、同じ斜め列と次の斜め列の番号差を使う。上下・左右へ1つ動いたときの差を先に求めれば、(1)は差の一致として示せる。(2)は4番号を $f (m, n)$ と S だけで表す。

解答

解法1

(1)

図の規則より， $m + n$ が一定である斜めの列ごとに番号が並んでいる。点 $(m, n)$ の前には， $m + n - 2$ 本の斜め列に含まれる点があり，その個数は

1 + 2 + \dots + (m + n - 2) = \frac{( m + n - 2 ) ( m + n - 1 )}{2}

である。また同じ斜め列の中で $(m, n)$ は下から $n$ 番目である。よって

f (m, n) = \frac{( m + n - 2 ) ( m + n - 1 )}{2} + n

である。この式は，たとえば $f (1, 1) = 1$ ， $f (3, 4) = 15 + 4 = 19$ を与え，問題文の例と一致する。

$S = m + n$ とおくと

f (m, n) = \frac{( S - 2 ) ( S - 1 )}{2} + n,

f (m + 1, n + 1) = \frac{S ( S + 1 )}{2} + n + 1,

f (m, n + 1) = \frac{( S - 1 ) S}{2} + n + 1

である。したがって

f (m, n) + f (m + 1, n + 1) = S^{2} - S + 2 n + 2

であり，また

2 f (m, n + 1) = S (S - 1) + 2 n + 2 = S^{2} - S + 2 n + 2

である。よって

f (m, n) + f (m + 1, n + 1) = 2 f (m, n + 1)

が成り立つ。

(2)

再び $S = m + n$ とおく。(1)で得た式から

f (m, n) + f (m + 1, n) + f (m, n + 1) + f (m + 1, n + 1) = 2 S^{2} - 2 S + 4 n + 3

である。これが $2023$ に等しいので

S^{2} - S + 2 n = 1010

を得る。

$m, n$ は正の整数だから， $1 ≦ n ≦ S - 1$ である。よって

S^{2} - S + 2 ≦ 1010 ≦ S^{2} - S + 2 S - 2 = S^{2} + S - 2

である。左の不等式から $S^{2} - S ≦ 1008$ なので $S ≦ 32$ であり，右の不等式から $S^{2} + S ≧ 1012$ なので $S ≧ 32$ である。したがって $S = 32$ である。

このとき

3 2^{2} - 32 + 2 n = 1010

より $2 n = 18$ ，すなわち $n = 9$ である。したがって $m = 32 - 9 = 23$ であり，求める組は

(m, n) = (23, 9)

である。

解法2（隣接点の番号差を使う方法）

$S = m + n$ 、 $p = f (m, n)$ とおく。図の並びでは、和が S の斜め列の最後までに $1 + 2 + \dots + (S - 1)$ 個の点がある。したがって隣接点との番号差は

f (m + 1, n) - p = S - 1, f (m, n + 1) - p = S .

また $(m, n + 1)$ から $(m + 1, n + 1)$ へ移る差も S であるから

f (m + 1, n + 1) - f (m, n + 1) = S = f (m, n + 1) - f (m, n) .

よって

f (m, n) + f (m + 1, n + 1) = 2 f (m, n + 1)

が成り立つ。

さらに

f (m + 1, n) = p + S - 1, f (m, n + 1) = p + S, f (m + 1, n + 1) = p + 2 S

なので、(2)の左辺は $4 p + 4 S - 1$ である。したがって

4 p + 4 S - 1 = 2023, p + S = 506.

一方

p = \frac{( S - 2 ) ( S - 1 )}{2} + n

だから

p + S = \frac{S ( S - 1 )}{2} + n + 1 = 506.

$1 ≦ n ≦ S - 1$ を用いると

\frac{S ( S - 1 )}{2} + 2 ≦ 506 ≦ \frac{S ( S - 1 )}{2} + S .

$S = 31$ では右辺が496、 $S = 33$ では左辺が530なので $S = 32$ に限る。このとき

496 + n + 1 = 506

より $n = 9$ 、 $m = 23$ である。したがって

(m, n) = (23, 9) .

一橋大学 2023年度文系数学 第4問

問題

方針

解法1

解法2（隣接点の番号差を使う方法）

解答

解法1

(1)

(2)

解法2（隣接点の番号差を使う方法）

一橋大学 2023年度
文系数学第4問