一橋大学 2023年度 前期文系数学 第2問

$C_1:y=x^3+2a{x}^2$ 上の接点の $x$ 座標を $t$ とする。$C_1^{\mathrm{\prime }}$ の傾きは $3x^2+4ax$ であるから，この点における接線は$$y-(t^3+2a{t}^2)=(3t^2+4at)(x-t)$$すなわち$$y=(3t^2+4at)x-2t^3-2a{t}^2$$である。

この直線が $C_2:y=3a{x}^2-3\mathrm{/}a$ に接するためには，両式を連立して得られる二次方程式$$3a{x}^2-(3t^2+4at)x+2t^3+2a{t}^2-\frac{3}{a}=0$$が重解をもてばよい。判別式を0とすると$$(3t^2+4at{)}^2-12a(2t^3+2a{t}^2-\frac{3}{a})=0$$である。整理して$$9t^4-8a^2{t}^2+36=0$$を得る。ここで $t=0$ では左辺が $36$ となり不可能なので，$u=t^2>0$ とおく。すると$$9u^2-8a^{2}u+36=0$$が正の解をもつ条件を考えればよい。

この二次方程式は定数項が正で，解の和が $8a^2\mathrm{/}9>0$ である。したがって実数解をもてば2解はいずれも正である。よって必要十分条件は判別式が0以上であること，すなわち$$(8a^2{)}^2-4\cdot 9\cdot 36\geqq 0$$である。これより$$64a^4-1296\geqq 0,a^2\geqq \frac{9}{2}$$となる。$a>0$ だから，求める範囲は$$a\geqq \frac{3\sqrt{2}}{2}$$である。

共通接線を $y=mx+b$ とおく。$C_2$ への接線は傾き $m$ から切片が一意に決まる。一方 $C_1$ の接点を $t$ として傾きと切片を表し、2つの切片を等置する。

$C_2:y=3a{x}^2-3\mathrm{/}a$ 上の $x=s$ における接線は$$y=6asx-3a{s}^2-\frac{3}{a}$$である。傾きを $m$ とすれば $s=m\mathrm{/}(6a)$ だから、傾き $m$ の接線の切片は$$b=-\frac{m^2}{12a}-\frac{3}{a}$$となる。

次に $C_1:y=x^3+2a{x}^2$ 上の $x=t$ における接線は$$m=3t^2+4at,b=-2t^3-2a{t}^2$$を満たす。これが $C_2$ にも接するための必要十分条件は$$-2t^3-2a{t}^2=-\frac{(3t^2+4at{)}^2}{12a}-\frac{3}{a}$$である。両辺に $12a$ を掛けて整理すると$$9t^4-8a^2{t}^2+36=0$$を得る。

$u=t^2$ とおくと $u>0$ で$$9u^2-8a^{2}u+36=0.$$この二次方程式は解の和が $8a^2\mathrm{/}9>0$、積が $4>0$ なので、実数解をもてば両方とも正である。したがって必要十分条件は$$64a^4-1296\geqq 0.$$$a>0$ より$$a\geqq \frac{3\sqrt{2}}{2}$$である。