一橋大学 2023年度文系数学第3問解答・解説

問題

原点を $O$ とする座標空間内に $3$ 点 $A$ $(- 3, 2, 0) ，$ $B$ $(1, 5, 0) ，$ $C$ $(4, 5, 1)$ がある． $P$ は $P A + 3 P B + 2 P C ≦ 36$ を満たす点である． $4$ 点 $O ，$ $A ，$ $B ，$ $P$ が同一平面上にないとき，四面体 $O A B P$ の体積の最大値を求めよ．

出典：一橋大学 2023年度前期文系第3問

方針

解法1

条件式を $P$ を中心とする球の条件に直す。 $P A + 3 P B + 2 P C$ は $A + 3 B + 2 C - 6 P$ であるから，中心と半径が分かる。四面体 $O A B P$ は底面 $O A B$ が $x y$ 平面上にあるので，高さ $∣ z ∣$ を最大にする。

解法2（平面から球までの最遠距離で求める方法）

ベクトル条件を球へ直した後、四面体の体積を「底面積×点Pから平面OABまでの距離÷3」と見る。球の中心から平面までの距離に半径を足せば、球内の点から平面までの最大距離が得られる。

解答

解法1

点 $P$ の位置ベクトルを $p$ とする。 $A, B, C$ の位置ベクトルをそれぞれ $a, b, c$ とすれば

P A + 3 P B + 2 P C = (a - p) + 3 (b - p) + 2 (c - p) = a + 3 b + 2 c - 6 p

である。ここで

a + 3 b + 2 c = (- 3, 2, 0) + 3 (1, 5, 0) + 2 (4, 5, 1) = (8, 27, 2)

だから，条件は

6 ((\frac{4}{3}, \frac{9}{2}, \frac{1}{3}) - P) ≦ 36

すなわち， $P$ が中心 $G (4/3, 9/2, 1/3)$ ，半径 $6$ の球の内部または表面にあることを表す。

点 $O, A, B$ はすべて $x y$ 平面上にある。 $O A = (- 3, 2, 0)$ ， $O B = (1, 5, 0)$ より

∣ O A \times O B ∣ = ∣ (- 3) \cdot 5 - 2 \cdot 1∣ = 17

である。したがって四面体 $O A B P$ の体積は， $P$ の $z$ 座標を $z$ として

V = \frac{1}{6} \cdot 17∣ z ∣ = \frac{17}{6} ∣ z ∣

である。

球の中心の $z$ 座標は $1/3$ ，半径は $6$ であるから， $∣ z ∣$ の最大値は

\frac{1}{3} + 6 = \frac{19}{3}

である。この値は球面上の点 $(4/3, 9/2, 19/3)$ で実現し，この点は $x y$ 平面上にない。よって体積の最大値は

\frac{17}{6} \cdot \frac{19}{3} = \frac{323}{18}

である。

解法2（平面から球までの最遠距離で求める方法）

点 $P$ の位置ベクトルを $p$ とすると

P A + 3 P B + 2 P C = (8, 27, 2) - 6 p .

よって条件は

p - (\frac{4}{3}, \frac{9}{2}, \frac{1}{3}) ≦ 6

であり、P は中心 $G (4/3, 9/2, 1/3)$ 、半径6の球内を動く。

O、A、B は平面 $z = 0$ 上にあり、

[△ O A B] = \frac{1}{2} ∣ (- 3) \cdot 5 - 2 \cdot 1∣ = \frac{17}{2} .

球の中心 G と平面 $z = 0$ の距離は $1/3$ である。したがって球内の点からこの平面までの距離の最大値は、G から正の $z$ 方向へ半径だけ進んだ点で

\frac{1}{3} + 6 = \frac{19}{3}

となる。

よって四面体の体積の最大値は

\frac{1}{3} \cdot \frac{17}{2} \cdot \frac{19}{3} = \frac{323}{18} .

最大点の $z$ 座標は $19/3 \neq = 0$ だから、4点が同一平面上にない条件も満たす。

一橋大学 2023年度文系数学 第3問

問題

方針

解法1

解法2（平面から球までの最遠距離で求める方法）

解答

解法1

解法2（平面から球までの最遠距離で求める方法）

一橋大学 2023年度
文系数学第3問