一橋大学 2023年度 前期文系数学 第3問

点 $P$ の位置ベクトルを $\vec{p}$ とする。$A,B,C$ の位置ベクトルをそれぞれ $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ とすれば$$\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{PC}=(\vec{a}-\vec{p})+3(\vec{b}-\vec{p})+2(\vec{c}-\vec{p})=\vec{a}+3\vec{b}+2\vec{c}-6\vec{p}$$である。ここで$$\vec{a}+3\vec{b}+2\vec{c}=(-3,2,0)+3(1,5,0)+2(4,5,1)=(8,27,2)$$だから，条件は$$\mid 6((\frac{4}{3},\frac{9}{2},\frac{1}{3})-P)\mid \leqq 36$$すなわち，$P$ が中心 $G(4\mathrm{/}3,9\mathrm{/}2,1\mathrm{/}3)$，半径 $6$ の球の内部または表面にあることを表す。

点 $O,A,B$ はすべて $xy$ 平面上にある。$$\overrightarrow{OA}=(-3,2,0)$$，$$\overrightarrow{OB}=(1,5,0)$$ より$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OB}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }(-3)\cdot 5-2\cdot 1\mathrm{\mid }=17$$である。したがって四面体 $OABP$ の体積は，$P$ の $z$ 座標を $z$ として$$V=\frac{1}{6}\cdot 17\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=\frac{17}{6}\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }$$である。

球の中心の $z$ 座標は $1\mathrm{/}3$，半径は $6$ であるから，$\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }$ の最大値は$$\frac{1}{3}+6=\frac{19}{3}$$である。この値は球面上の点 $(4\mathrm{/}3,9\mathrm{/}2,19\mathrm{/}3)$ で実現し，この点は $xy$ 平面上にない。よって体積の最大値は$$\frac{17}{6}\cdot \frac{19}{3}=\frac{323}{18}$$である。

ベクトル条件を球へ直した後、四面体の体積を「底面積×点Pから平面OABまでの距離÷3」と見る。球の中心から平面までの距離に半径を足せば、球内の点から平面までの最大距離が得られる。

点 $P$ の位置ベクトルを $\mathit{p}$ とすると$$\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{PC}=(8,27,2)-6\mathit{p}\mathrm{.}$$よって条件は$$\mid \mathit{p}-(\frac{4}{3},\frac{9}{2},\frac{1}{3})\mid \leqq 6$$であり、P は中心 $G(4\mathrm{/}3,9\mathrm{/}2,1\mathrm{/}3)$、半径6の球内を動く。

O、A、B は平面 $z=0$ 上にあり、$$[\mathrm{△}OAB]=\frac{1}{2}\mathrm{\mid }(-3)\cdot 5-2\cdot 1\mathrm{\mid }=\frac{17}{2}\mathrm{.}$$球の中心 G と平面 $z=0$ の距離は $1\mathrm{/}3$ である。したがって球内の点からこの平面までの距離の最大値は、G から正の $z$ 方向へ半径だけ進んだ点で$$\frac{1}{3}+6=\frac{19}{3}$$となる。

よって四面体の体積の最大値は$$\frac{1}{3}\cdot \frac{17}{2}\cdot \frac{19}{3}=\frac{323}{18}\mathrm{.}$$最大点の $z$ 座標は $19\mathrm{/}3\mathrm{\ne }0$ だから、4点が同一平面上にない条件も満たす。