一橋大学 2023年度文系数学第5問解答・解説

問題

$A, B, C$ の $3$ 人が， $A, B, C, A, B, C, A, \dots$ という順番にさいころを投げ，最初に $1$ を出した人を勝ちとする．だれかが $1$ を出すか，全員が $n$ 回ずつ投げたら，ゲームを終了する． $A, B, C$ が勝つ確率 $P_{A}, P_{B}, P_{C}$ をそれぞれ求めよ．

出典：一橋大学 2023年度前期文系第5問

方針

解法1

1巡を $A, B, C$ の3回の試行と見る。第 $j + 1$ 巡でそれぞれが勝つには，それ以前の $3 j$ 回で1が出ず，その巡で該当者の前までにも1が出ず，該当者が1を出せばよい。公比 $(5/6)^{3}$ の等比数列の和として処理する。

解法2（1巡後の再帰式で求める方法）

最初の1巡だけを見る。A、B、Cがその巡で勝つ確率と、3人とも失敗して同じゲームが残り $n - 1$ 巡続く確率を使い、各勝率の再帰式を立てる。

解答

解法1

1回のさいころ投げで $1$ が出ない確率は $5/6$ である。第 $j + 1$ 巡，すなわち各人がすでに $j$ 回ずつ投げた後の巡を考える。ただし $j = 0, 1, \dots, n - 1$ である。

Aがこの巡で勝つ確率は，それ以前の $3 j$ 回で $1$ が出ず，次にAが $1$ を出す確率だから

(\frac{5}{6})^{3 j} \frac{1}{6}

である。したがって

P_{A} = j = 0 \sum n - 1 (\frac{5}{6})^{3 j} \frac{1}{6} = \frac{1}{6} \cdot \frac{1 - ( \frac{125}{216} ) ^{n}}{1 - \frac{125}{216}} = \frac{36}{91} {1 - (\frac{125}{216})^{n}} .

同様に，Bが第 $j + 1$ 巡で勝つには，その巡のAも $1$ を出さず，Bが $1$ を出せばよい。よって

P_{B} = j = 0 \sum n - 1 (\frac{5}{6})^{3 j + 1} \frac{1}{6} = \frac{30}{91} {1 - (\frac{125}{216})^{n}} .

Cについても同様に

P_{C} = j = 0 \sum n - 1 (\frac{5}{6})^{3 j + 2} \frac{1}{6} = \frac{25}{91} {1 - (\frac{125}{216})^{n}}

である。

解法2（1巡後の再帰式で求める方法）

1巡で A、B、C が勝つ確率はそれぞれ

α = \frac{1}{6}, β = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{36}, γ = (\frac{5}{6})^{2} \frac{1}{6} = \frac{25}{216}

である。3人とも1を出さず次の巡へ進む確率を

r = (\frac{5}{6})^{3} = \frac{125}{216}

とおく。

残り n 巡のゲームでの勝率を $P_{A} (n), P_{B} (n), P_{C} (n)$ と書けば

P_{A} (n) = α + r P_{A} (n - 1), P_{B} (n) = β + r P_{B} (n - 1), P_{C} (n) = γ + r P_{C} (n - 1)

であり、 $P_{A} (0) = P_{B} (0) = P_{C} (0) = 0$ である。よって等比数列の和から

P_{A} (n) = \frac{α ( 1 - r ^{n} )}{1 - r}, P_{B} (n) = \frac{β ( 1 - r ^{n} )}{1 - r}, P_{C} (n) = \frac{γ ( 1 - r ^{n} )}{1 - r} .

$1 - r = 91/216$ を代入して

P_{A} = \frac{36}{91} {1 - (\frac{125}{216})^{n}},

P_{B} = \frac{30}{91} {1 - (\frac{125}{216})^{n}}, P_{C} = \frac{25}{91} {1 - (\frac{125}{216})^{n}} .

3式の和は $1 - r^{n}$ となり、n巡すべてで誰も1を出さない場合を除いた確率と一致する。

一橋大学 2023年度文系数学 第5問

問題

方針

解法1

解法2（1巡後の再帰式で求める方法）

解答

解法1

解法2（1巡後の再帰式で求める方法）

一橋大学 2023年度
文系数学第5問