一橋大学 2023年度 前期文系数学 第5問

1回のさいころ投げで $1$ が出ない確率は $5\mathrm{/}6$ である。第 $j+1$ 巡，すなわち各人がすでに $j$ 回ずつ投げた後の巡を考える。ただし $j=0,1,\dots ,n-1$ である。

Aがこの巡で勝つ確率は，それ以前の $3j$ 回で $1$ が出ず，次にAが $1$ を出す確率だから$${\left(\frac{5}{6}\right)}^{3j}\frac{1}{6}$$である。したがって$$P_A=\sum _{j=0}^{n-1}{\left(\frac{5}{6}\right)}^{3j}\frac{1}{6}=\frac{1}{6}\cdot \frac{1-{\left(\frac{125}{216}\right)}^n}{1-\frac{125}{216}}=\frac{36}{91}\{1-{\left(\frac{125}{216}\right)}^n\}\mathrm{.}$$同様に，Bが第 $j+1$ 巡で勝つには，その巡のAも $1$ を出さず，Bが $1$ を出せばよい。よって$$P_B=\sum _{j=0}^{n-1}{\left(\frac{5}{6}\right)}^{3j+1}\frac{1}{6}=\frac{30}{91}\{1-{\left(\frac{125}{216}\right)}^n\}\mathrm{.}$$Cについても同様に$$P_C=\sum _{j=0}^{n-1}{\left(\frac{5}{6}\right)}^{3j+2}\frac{1}{6}=\frac{25}{91}\{1-{\left(\frac{125}{216}\right)}^n\}$$である。

最初の1巡だけを見る。A、B、Cがその巡で勝つ確率と、3人とも失敗して同じゲームが残り $n-1$ 巡続く確率を使い、各勝率の再帰式を立てる。

1巡で A、B、C が勝つ確率はそれぞれ$$\alpha =\frac{1}{6},\beta =\frac{5}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{5}{36},\gamma ={\left(\frac{5}{6}\right)}^2\frac{1}{6}=\frac{25}{216}$$である。3人とも1を出さず次の巡へ進む確率を$$r={\left(\frac{5}{6}\right)}^3=\frac{125}{216}$$とおく。

残り n 巡のゲームでの勝率を $P_A(n),P_B(n),P_C(n)$ と書けば$$P_A(n)=\alpha +r{P}_A(n-1),P_B(n)=\beta +r{P}_B(n-1),P_C(n)=\gamma +r{P}_C(n-1)$$であり、$P_A(0)=P_B(0)=P_C(0)=0$ である。よって等比数列の和から$$P_A(n)=\frac{\alpha (1-r^n)}{1-r},P_B(n)=\frac{\beta (1-r^n)}{1-r},P_C(n)=\frac{\gamma (1-r^n)}{1-r}\mathrm{.}$$$1-r=91\mathrm{/}216$ を代入して$$P_A=\frac{36}{91}\{1-{\left(\frac{125}{216}\right)}^n\},$$$$P_B=\frac{30}{91}\{1-{\left(\frac{125}{216}\right)}^n\},P_C=\frac{25}{91}\{1-{\left(\frac{125}{216}\right)}^n\}\mathrm{.}$$3式の和は $1-r^n$ となり、n巡すべてで誰も1を出さない場合を除いた確率と一致する。