一橋大学 2024年度 一般選抜（前期日程）文系数学 第1問

和の公式より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{k=1}^{m}k(n-2k)}& {\displaystyle =n\frac{m(m+1)}{2}-2\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{m(m+1)}{6}(3n-4m-2)\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$m(m+1)(3n-4m-2)=12144=2^4\cdot 3\cdot 11\cdot 23.$$$m(m+1)>0$なので$q=3n-4m-2$は正の整数であり、$m(m+1)$は$12144$の約数である。

$m,m+1$は連続する2整数なので一方は奇数である。その奇数は$12144$の奇数の約数でなければならないから$$1,3,11,23,33,69,253,759$$のいずれかである。この奇数とその前後の偶数を組にし、その積が$12144$を割り切り、かつ$12144$以下となるものを調べると$$(m,m+1)=(1,2),(2,3),(3,4),(11,12),(22,23),(23,24)$$だけが残る。よって$m=1,2,3,11,22,23$である。

$L=12144\mathrm{/}\{m(m+1)\}$とおくと$3n=L+4m+2$である。各候補について$$\begin{array}{ccc}m& L& n\\ 1& 6072& 2026\\ 2& 2024& 678\\ 3& 1012& 342\\ 11& 92& 46\\ 22& 24& 38\\ 23& 22& 116\mathrm{/}3\end{array}$$となる。$m=23$では$n$が整数でないので除く。したがって求める組は$$(m,n)=(1,2026),(2,678),(3,342),(11,46),(22,38)$$である。

$d=m(m+1)$とおき、$d$が$12144$の正の約数であることを使う。方程式$m^2+m-d=0$が正の整数解をもつ条件は$4d+1$が奇数の平方になることである。この平方条件で約数候補を抽出し、残った$m$について$n$を復元する。連続整数の候補を二次方程式の判別式で捉える別解である。

和を計算すると$$m(m+1)(3n-4m-2)=12144$$である。$q=3n-4m-2$は正の整数なので$d=m(m+1)$は$12144=2^4\cdot 3\cdot 11\cdot 23$の正の約数である。

一方、$m$は$$m^2+m-d=0$$の正の整数解である。したがって判別式$4d+1$が奇数の平方でなければならない。$12144$の正の約数を素因数分解から調べると、この条件を満たす$d$は$$\begin{array}{ccc}d& 4d+1& m\\ 2& 3^2& 1\\ 6& 5^2& 2\\ 12& 7^2& 3\\ 132& {23}^2& 11\\ 506& {45}^2& 22\\ 552& {47}^2& 23\end{array}$$に限られる。

各$m$について$$n=\frac{12144\mathrm{/}\{m(m+1)\}+4m+2}{3}$$を計算すると、順に$2026,678,342,46,38,116\mathrm{/}3$となる。最後は整数でないから除き、答えは$$(m,n)=(1,2026),(2,678),(3,342),(11,46),(22,38)$$である。