問題
を満たす正の整数の組を求めよ．
出典：一橋大学 2024年度 一般選抜（前期日程） 文系 第1問
方針
解法1（連続2整数の素因数を調べる方法）
和の公式で左辺を積の形にし、を得る。右辺が正なので第3因子も正であり、はの約数である。の一方が奇数であることと、奇数部分がの約数であることを使って、連続する2整数の候補を漏れなく絞る。最後にの整数性を確認する。
解法2（判別式で連続整数を抽出する別解）
とおき、がの正の約数であることを使う。方程式が正の整数解をもつ条件はが奇数の平方になることである。この平方条件で約数候補を抽出し、残ったについてを復元する。連続整数の候補を二次方程式の判別式で捉える別解である。
解答
解法1（連続2整数の素因数を調べる方法）
和の公式より
したがって
なのでは正の整数であり、はの約数である。
は連続する2整数なので一方は奇数である。その奇数はの奇数の約数でなければならないから
のいずれかである。この奇数とその前後の偶数を組にし、その積がを割り切り、かつ以下となるものを調べると
だけが残る。よってである。
とおくとである。各候補について
となる。ではが整数でないので除く。したがって求める組は
である。
解法2（判別式で連続整数を抽出する別解）
和を計算すると
である。は正の整数なのではの正の約数である。
一方、は
の正の整数解である。したがって判別式が奇数の平方でなければならない。の正の約数を素因数分解から調べると、この条件を満たすは
に限られる。
各について
を計算すると、順にとなる。最後は整数でないから除き、答えは
である。