一橋大学 2024年度文系数学第2問解答・解説

問題

$a ，$ $b$ を実数とする．曲線 $C ： y = x^{2}$ と曲線 $C^{^{'}} ： y = - x^{2} + a x + b$ はある点を共有しており，その点におけるそれぞれの接線は直交している． $C$ と $C^{^{'}}$ で囲まれた部分の面積の最小値を求めよ．

出典：一橋大学 2024年度一般選抜（前期日程）文系第2問

方針

解法1（2交点の解と係数を使う方法）

2曲線の交点の $x$ 座標を $α, β$ とする。交点方程式の解と係数の関係を使うと、一方の交点での2本の接線の傾きが $2 α, 2 β$ と書ける。直交条件から積 $α β$ を求めて $b = 1/2$ を決定する。囲まれた面積は交点間距離 $d = ∣ β - α ∣$ だけで $d^{3} /3$ と表せるため、 $a$ について最小化する。

解法2（共有点を媒介変数にする別解）

条件を満たす共有点を $(t, t^{2})$ と置き、通過条件と接線の直交条件から $a, b$ を $t$ で表す。もう一つの交点 $s$ を解と係数の関係で求めると、交点間距離が $∣ t + 1/ (4 t) ∣$ となる。面積を距離の3乗で表し、 $u = 2 t$ に対する $∣ u + 1/ u ∣ ≧ 2$ で最小値を出す。

解答

解法1（2交点の解と係数を使う方法）

2曲線の交点の $x$ 座標を $α, β$ とする。交点方程式は

2 x^{2} - a x - b = 0

なので

α + β = \frac{a}{2}, α β = - \frac{b}{2} .

$x = α$ における $C$ の接線の傾きは $2 α$ である。一方、 $C^{'}$ の接線の傾きは

- 2 α + a = - 2 α + 2 (α + β) = 2 β

である。2本の接線が直交するから

(2 α) (2 β) = - 1.

したがって $α β = - 1/4$ であり

b = \frac{1}{2}

と定まる。このとき交点方程式は $2 x^{2} - a x - 1/2 = 0$ で、判別式は $a^{2} + 4 > 0$ だから2交点は異なる実数である。 $α < β$ とすると

d = β - α = \frac{a ^{2} + 4}{2} .

2曲線の差は

(- x^{2} + a x + \frac{1}{2}) - x^{2} = - 2 (x - α) (x - β)

であり、 $α ≦ x ≦ β$ では $2 (x - α) (β - x)$ となる。囲まれた面積を $S$ とし、 $u = x - α$ と置けば

S = 2 \int_{α}^{β} (x - α) (β - x) d x = 2 \int_{0}^{d} u (d - u) d u = \frac{d ^{3}}{3} = \frac{( a ^{2} + 4 ) ^{3/2}}{24} .

よって $a = 0$ のとき最小となり

S_{m i n} = \frac{4 ^{3/2}}{24} = \frac{1}{3} .

このとき $b = 1/2$ で、実際に条件を満たす。

{ 等号時は $a = 0, b = 1/2$ で、交点は $x = \pm 1/2$ である。}

解法2（共有点を媒介変数にする別解）

条件にある共有点を $(t, t^{2})$ とする。この点が $C^{'}$ 上にもあることから

t^{2} = - t^{2} + a t + b .

また、この点における2曲線の接線の傾きは $2 t, - 2 t + a$ なので

2 t (- 2 t + a) = - 1.

特に $t \neq = 0$ であり、二式から

a = 2 t - \frac{1}{2 t}, b = 2 t^{2} - a t = \frac{1}{2}

を得る。

交点方程式 $2 x^{2} - a x - b = 0$ のもう一つの解を $s$ とすると

t + s = \frac{a}{2} = t - \frac{1}{4 t}

だから $s = - 1/ (4 t)$ である。解法1と同じ積分計算により、交点間距離を $d = ∣ t - s ∣$ とすれば面積は $d^{3} /3$ である。ここで

d = t + \frac{1}{4 t} = \frac{1}{2} 2 t + \frac{1}{2 t} .

$u = 2 t$ とおくと $u \neq = 0$ であり

u + \frac{1}{u} ≧ 2

だから $d ≧ 1$ である。等号は $u = \pm 1$ 、すなわち $t = \pm 1/2$ のとき成立する。よって面積の最小値は

\frac{1 ^{3}}{3} = \frac{1}{3}

である。

一橋大学 2024年度文系数学 第2問

問題

方針

解法1（2交点の解と係数を使う方法）

解法2（共有点を媒介変数にする別解）

解答

解法1（2交点の解と係数を使う方法）

解法2（共有点を媒介変数にする別解）

一橋大学 2024年度
文系数学第2問