一橋大学 2024年度 一般選抜（前期日程）文系数学 第2問

2曲線の交点の$x$座標を$\alpha ,\beta$とする。交点方程式は$$2x^2-ax-b=0$$なので$$\alpha +\beta =\frac{a}{2},\alpha \beta =-\frac{b}{2}\mathrm{.}$$$x=\alpha$における$C$の接線の傾きは$2\alpha$である。一方、$C^{\mathrm{\prime }}$の接線の傾きは$$-2\alpha +a=-2\alpha +2(\alpha +\beta )=2\beta$$である。2本の接線が直交するから$$(2\alpha )(2\beta )=-1.$$したがって$\alpha \beta =-1\mathrm{/}4$であり$$b=\frac{1}{2}$$と定まる。このとき交点方程式は$2x^2-ax-1\mathrm{/}2=0$で、判別式は$a^2+4>0$だから2交点は異なる実数である。$\alpha <\beta$とすると$$d=\beta -\alpha =\frac{\sqrt{a^2+4}}{2}\mathrm{.}$$2曲線の差は$$(-x^2+ax+\frac{1}{2})-x^2=-2(x-\alpha )(x-\beta )$$であり、$\alpha \leqq x\leqq \beta$では$2(x-\alpha )(\beta -x)$となる。囲まれた面積を$S$とし、$u=x-\alpha$と置けば$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =2{\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha )(\beta -x)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2{\int }_0^{d}u(d-u)du=\frac{d^3}{3}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(a^2+4{)}^{3\mathrm{/}2}}{24}\mathrm{.}}\end{array}$$よって$a=0$のとき最小となり$$S_{\min }=\frac{4^{3\mathrm{/}2}}{24}=\frac{1}{3}\mathrm{.}$$このとき$b=1\mathrm{/}2$で、実際に条件を満たす。

等号時は$a=0,b=1\mathrm{/}2$で、交点は$x=\pm 1\mathrm{/}2$である。

条件を満たす共有点を$(t,t^2)$と置き、通過条件と接線の直交条件から$a,b$を$t$で表す。もう一つの交点$s$を解と係数の関係で求めると、交点間距離が$\mathrm{\mid }t+1\mathrm{/}(4t)\mathrm{\mid }$となる。面積を距離の3乗で表し、$u=2t$に対する$\mathrm{\mid }u+1\mathrm{/}u\mathrm{\mid }\geqq 2$で最小値を出す。

条件にある共有点を$(t,t^2)$とする。この点が$C^{\mathrm{\prime }}$上にもあることから$$t^2=-t^2+at+b\mathrm{.}$$また、この点における2曲線の接線の傾きは$2t,-2t+a$なので$$2t(-2t+a)=-1.$$特に$t\mathrm{\ne }0$であり、二式から$$a=2t-\frac{1}{2t},b=2t^2-at=\frac{1}{2}$$を得る。

交点方程式$2x^2-ax-b=0$のもう一つの解を$s$とすると$$t+s=\frac{a}{2}=t-\frac{1}{4t}$$だから$s=-1\mathrm{/}(4t)$である。解法1と同じ積分計算により、交点間距離を$d=\mathrm{\mid }t-s\mathrm{\mid }$とすれば面積は$d^3\mathrm{/}3$である。ここで$$d=\mid t+\frac{1}{4t}\mid =\frac{1}{2}\mid 2t+\frac{1}{2t}\mid \mathrm{.}$$$u=2t$とおくと$u\mathrm{\ne }0$であり$$\mid u+\frac{1}{u}\mid \geqq 2$$だから$d\geqq 1$である。等号は$u=\pm 1$、すなわち$t=\pm 1\mathrm{/}2$のとき成立する。よって面積の最小値は$$\frac{1^3}{3}=\frac{1}{3}$$である。