一橋大学 2024年度 一般選抜（前期日程）文系数学 第5問

$n=2r+1$とおく。ただし$r$は正の整数である。全ての選び方は$${}_n{\mathrm{C}}_3$$通りである。

$n$は奇数なので正$n$角形に対頂点はなく、中心$O$が選んだ三角形の辺上に来ることはない。三角形が$O$を内部に含まないことは、3頂点がある開半円内に収まることと同値である。

選んだ3頂点を円周順に並べ、隣り合う選択点の間隔を辺の本数で測る。3間隔の和は$2r+1$である。中心を含まない場合には一つの間隔が$r+1$以上であり、そのような間隔は二つ同時には存在できない。

大きな間隔の直後の選択点を始点として選ぶ。この始点は$n$通りである。残り2点は、始点から時計回りに続く$r$個の頂点の中から選べばよいので$$n{}_r{\mathrm{C}}_2$$通りである。大きな間隔が一意なので重複はない。

したがって中心を含む選び方は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {}_n{\mathrm{C}}_3-n{}_r{\mathrm{C}}_2}& {\displaystyle =\frac{(2r+1)2r(2r-1)}{6}-(2r+1)\frac{r(r-1)}{2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(2r+1)r(r+1)}{6}\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p_n}& {\displaystyle =\frac{(2r+1)r(r+1)\mathrm{/}6}{(2r+1)2r(2r-1)\mathrm{/}6}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{r+1}{2(2r-1)}=\frac{n+1}{4(n-2)}\mathrm{.}}\end{array}$$

選んだ3頂点の円周上の間隔を正整数$d_1,d_2,d_3$で表す。中心を内部に含むための必要十分条件は、全ての間隔が$r$以下であることになる。和が$2r+1$となる正整数3組から、いずれかが$r+1$以上となる組を除き、始点の選び方$n$通りと同じ三角形を3回数える重複を調整する。

$n=2r+1$とおく。選んだ3頂点を円周上の順に見たとき、隣り合う頂点間の辺数を$d_1,d_2,d_3$とする。これらは正の整数で$$d_1+d_2+d_3=2r+1$$を満たす。奇数角形には対頂点がないため、三角形が中心を内部に含むための必要十分条件は$$d_1\leqq r,d_2\leqq r,d_3\leqq r$$である。

正整数解$(d_1,d_2,d_3)$の総数は${}_{2r}{\mathrm{C}}_2$である。例えば$d_1\geqq r+1$の場合、$e_1=d_1-r$と置くと$$e_1+d_2+d_3=r+1$$となるので、その個数は${}_r{\mathrm{C}}_2$である。同様のものが3か所ある。また二つの間隔が同時に$r+1$以上になることは、和が$2r+1$なので不可能である。よって条件を満たす間隔3組は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {}_{2r}{\mathrm{C}}_2-3{}_r{\mathrm{C}}_2}& {\displaystyle =r(2r-1)-\frac{3r(r-1)}{2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{r(r+1)}{2}}\end{array}$$通りである。

円周上の始点は$n$通りに選べるが、一つの三角形は選んだ3頂点のどこを始点にするかで3回数えられる。したがって中心を含む三角形は$$\frac{n}{3}\cdot \frac{r(r+1)}{2}=\frac{nr(r+1)}{6}$$個である。全ての三角形は$${}_n{\mathrm{C}}_3=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}$$個だから$$p_n=\frac{nr(r+1)}{n(n-1)(n-2)}=\frac{n+1}{4(n-2)}$$である。