一橋大学 2024年度文系数学第5問解答・解説

問題

$n$ を $3$ 以上の奇数とする．円に内接する正 $n$ 角形の頂点から無作為に相異なる $3$ 点を選んだとき，その $3$ 点を頂点とする三角形の内部に円の中心が含まれる確率 $p_{n}$ を求めよ．

出典：一橋大学 2024年度一般選抜（前期日程）文系第5問

方針

解法1（余事象を半円で数える方法）

$n = 2 r + 1$ と置き、中心を内部に含まない三角形を余事象として数える。奇数角形には対頂点がないため、中心を含まないことは3頂点がある開半円内に収まることと同値であり、円周上の3間隔のうち一つが $r + 1$ 以上になる。その大きな間隔の直後の頂点を一意な始点として、残り2頂点を次の $r$ 頂点から選ぶ。

解法2（3つの円周間隔を直接数える別解）

選んだ3頂点の円周上の間隔を正整数 $d_{1}, d_{2}, d_{3}$ で表す。中心を内部に含むための必要十分条件は、全ての間隔が $r$ 以下であることになる。和が $2 r + 1$ となる正整数3組から、いずれかが $r + 1$ 以上となる組を除き、始点の選び方 $n$ 通りと同じ三角形を3回数える重複を調整する。

解答

解法1（余事象を半円で数える方法）

$n = 2 r + 1$ とおく。ただし $r$ は正の整数である。全ての選び方は

_{n} C_{3}

通りである。

$n$ は奇数なので正 $n$ 角形に対頂点はなく、中心 $O$ が選んだ三角形の辺上に来ることはない。三角形が $O$ を内部に含まないことは、3頂点がある開半円内に収まることと同値である。

選んだ3頂点を円周順に並べ、隣り合う選択点の間隔を辺の本数で測る。3間隔の和は $2 r + 1$ である。中心を含まない場合には一つの間隔が $r + 1$ 以上であり、そのような間隔は二つ同時には存在できない。

大きな間隔の直後の選択点を始点として選ぶ。この始点は $n$ 通りである。残り2点は、始点から時計回りに続く $r$ 個の頂点の中から選べばよいので

n_{r} C_{2}

通りである。大きな間隔が一意なので重複はない。

したがって中心を含む選び方は

_{n} C_{3} - n_{r} C_{2} = \frac{( 2 r + 1 ) 2 r ( 2 r - 1 )}{6} - (2 r + 1) \frac{r ( r - 1 )}{2} = \frac{( 2 r + 1 ) r ( r + 1 )}{6} .

よって

p_{n} = \frac{( 2 r + 1 ) r ( r + 1 ) /6}{( 2 r + 1 ) 2 r ( 2 r - 1 ) /6} = \frac{r + 1}{2 ( 2 r - 1 )} = \frac{n + 1}{4 ( n - 2 )} .

解法2（3つの円周間隔を直接数える別解）

$n = 2 r + 1$ とおく。選んだ3頂点を円周上の順に見たとき、隣り合う頂点間の辺数を $d_{1}, d_{2}, d_{3}$ とする。これらは正の整数で

d_{1} + d_{2} + d_{3} = 2 r + 1

を満たす。奇数角形には対頂点がないため、三角形が中心を内部に含むための必要十分条件は

d_{1} ≦ r, d_{2} ≦ r, d_{3} ≦ r

である。

正整数解 $(d_{1}, d_{2}, d_{3})$ の総数は $_{2 r} C_{2}$ である。例えば $d_{1} ≧ r + 1$ の場合、 $e_{1} = d_{1} - r$ と置くと

e_{1} + d_{2} + d_{3} = r + 1

となるので、その個数は $_{r} C_{2}$ である。同様のものが3か所ある。また二つの間隔が同時に $r + 1$ 以上になることは、和が $2 r + 1$ なので不可能である。よって条件を満たす間隔3組は

_{2 r} C_{2} - 3_{r} C_{2} = r (2 r - 1) - \frac{3 r ( r - 1 )}{2} = \frac{r ( r + 1 )}{2}

通りである。

円周上の始点は $n$ 通りに選べるが、一つの三角形は選んだ3頂点のどこを始点にするかで3回数えられる。したがって中心を含む三角形は

\frac{n}{3} \cdot \frac{r ( r + 1 )}{2} = \frac{n r ( r + 1 )}{6}

個である。全ての三角形は

_{n} C_{3} = \frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 )}{6}

個だから

p_{n} = \frac{n r ( r + 1 )}{n ( n - 1 ) ( n - 2 )} = \frac{n + 1}{4 ( n - 2 )}

である。

一橋大学 2024年度文系数学 第5問

問題

方針

解法1（余事象を半円で数える方法）

解法2（3つの円周間隔を直接数える別解）

解答

解法1（余事象を半円で数える方法）

解法2（3つの円周間隔を直接数える別解）

一橋大学 2024年度
文系数学第5問