一橋大学 2024年度 一般選抜（前期日程）文系数学 第3問

$$f(x)=x^4+A{x}^3+B{x}^2+Cx+D$$とおく。$(x+1{)}^2$で割った余りが$1$であることは$$f(-1)=1,f^{\mathrm{\prime }}(-1)=0$$と同値である。同様に、$(x-1{)}^2$で割った余りが$2$であることは$$f(1)=2,f^{\mathrm{\prime }}(1)=0$$と同値である。

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=4x^3+3A{x}^2+2Bx+C$なので$$\begin{array}{rcl}-A+B-C+D& =& 0,\\ -4+3A-2B+C& =& 0,\\ A+B+C+D& =& 1,\\ 4+3A+2B+C& =& 0\end{array}$$を得る。第2式と第4式の差から$B=-2$である。また第1式と第3式の差から$A+C=1\mathrm{/}2$であり、第4式へ$B=-2$を代入すると$3A+C=0$となる。したがって$$A=-\frac{1}{4},C=\frac{3}{4}\mathrm{.}$$第3式から$D=5\mathrm{/}2$である。よって$$f(x)=x^4-\frac{1}{4}{x}^3-2x^2+\frac{3}{4}x+\frac{5}{2}$$である。

まず$(x+1{)}^2$で割る条件をそのまま用い、$f(x)=(x+1{)}^{2}Q(x)+1$と置く。$f$がモニック4次式なので$Q$はモニック2次式である。残る$(x-1{)}^2$の条件を$Q(1),Q^{\mathrm{\prime }}(1)$の2条件へ変換すれば、未知係数2個を短く決定できる。

$(x+1{)}^2$で割った余りが$1$なので$$f(x)=(x+1{)}^{2}Q(x)+1$$と書ける。$f$は4次係数が$1$の4次式だから$$Q(x)=x^2+px+q$$とおける。

$(x-1{)}^2$で割った余りが$2$であることから$$f(1)=2,f^{\mathrm{\prime }}(1)=0.$$第1条件は$4Q(1)+1=2$なので$Q(1)=1\mathrm{/}4$である。また$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2(x+1)Q(x)+(x+1{)}^2{Q}^{\mathrm{\prime }}(x)$$より$$4Q(1)+4Q^{\mathrm{\prime }}(1)=0,$$したがって$Q^{\mathrm{\prime }}(1)=-1\mathrm{/}4$である。

$Q^{\mathrm{\prime }}(x)=2x+p$だから$$2+p=-\frac{1}{4}$$より$p=-9\mathrm{/}4$である。さらに$$Q(1)=1+p+q=\frac{1}{4}$$より$q=3\mathrm{/}2$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)}& {\displaystyle =(x+1{)}^2(x^2-\frac{9}{4}x+\frac{3}{2})+1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x^4-\frac{1}{4}{x}^3-2x^2+\frac{3}{4}x+\frac{5}{2}\mathrm{.}}\end{array}$$