一橋大学 2024年度文系数学第3問解答・解説

問題

$f (x)$ は $x$ に関する $4$ 次多項式で $4$ 次の係数は $1$ である． $f (x)$ は $(x + 1)^{2}$ で割ると $1$ 余り， $(x - 1)^{2}$ で割ると $2$ 余る． $f (x)$ を求めよ．

出典：一橋大学 2024年度一般選抜（前期日程）文系第3問

方針

解法1（値と導関数の条件に直す方法）

$(x - c)^{2}$ で割った余りが定数である条件を、 $x = c$ での関数値と導関数値の2条件に読み替える。モニック4次式の4個の未知係数に対して、 $x = \pm 1$ で得られる4本の一次方程式を対称に加減して解く。

解法2（商を先に置く別解）

まず $(x + 1)^{2}$ で割る条件をそのまま用い、 $f (x) = (x + 1)^{2} Q (x) + 1$ と置く。 $f$ がモニック4次式なので $Q$ はモニック2次式である。残る $(x - 1)^{2}$ の条件を $Q (1), Q^{'} (1)$ の2条件へ変換すれば、未知係数2個を短く決定できる。

解答

解法1（値と導関数の条件に直す方法）

f (x) = x^{4} + A x^{3} + B x^{2} + C x + D

とおく。 $(x + 1)^{2}$ で割った余りが $1$ であることは

f (- 1) = 1, f^{'} (- 1) = 0

と同値である。同様に、 $(x - 1)^{2}$ で割った余りが $2$ であることは

f (1) = 2, f^{'} (1) = 0

と同値である。

$f^{'} (x) = 4 x^{3} + 3 A x^{2} + 2 B x + C$ なので

- A + B - C + D - 4 + 3 A - 2 B + C A + B + C + D 4 + 3 A + 2 B + C = = = = 0, 0, 1, 0

を得る。第2式と第4式の差から $B = - 2$ である。また第1式と第3式の差から $A + C = 1/2$ であり、第4式へ $B = - 2$ を代入すると $3 A + C = 0$ となる。したがって

A = - \frac{1}{4}, C = \frac{3}{4} .

第3式から $D = 5/2$ である。よって

f (x) = x^{4} - \frac{1}{4} x^{3} - 2 x^{2} + \frac{3}{4} x + \frac{5}{2}

である。

解法2（商を先に置く別解）

$(x + 1)^{2}$ で割った余りが $1$ なので

f (x) = (x + 1)^{2} Q (x) + 1

と書ける。 $f$ は4次係数が $1$ の4次式だから

Q (x) = x^{2} + p x + q

とおける。

$(x - 1)^{2}$ で割った余りが $2$ であることから

f (1) = 2, f^{'} (1) = 0.

第1条件は $4 Q (1) + 1 = 2$ なので $Q (1) = 1/4$ である。また

f^{'} (x) = 2 (x + 1) Q (x) + (x + 1)^{2} Q^{'} (x)

より

4 Q (1) + 4 Q^{'} (1) = 0,

したがって $Q^{'} (1) = - 1/4$ である。

$Q^{'} (x) = 2 x + p$ だから

2 + p = - \frac{1}{4}

より $p = - 9/4$ である。さらに

Q (1) = 1 + p + q = \frac{1}{4}

より $q = 3/2$ である。したがって

f (x) = (x + 1)^{2} (x^{2} - \frac{9}{4} x + \frac{3}{2}) + 1 = x^{4} - \frac{1}{4} x^{3} - 2 x^{2} + \frac{3}{4} x + \frac{5}{2} .

一橋大学 2024年度文系数学 第3問

問題

方針

解法1（値と導関数の条件に直す方法）

解法2（商を先に置く別解）

解答

解法1（値と導関数の条件に直す方法）

解法2（商を先に置く別解）

一橋大学 2024年度
文系数学第3問