一橋大学 2024年度文系数学第4問解答・解説

問題

実数 $a ，$ $b$ は $- 1 < a < 1 ，$ $- 1 < b < 1$ を満たす．座標空間内に $4$ 点 $A$ $(a, - 1, - 1) ，$ $B$ $(- 1, b, - 1) ，$ $C$ $(- a, 1, 1) ，$ $D$ $(1, - b, 1)$ をとる．(1)　 $A ，$ $B ，$ $C ，$ $D$ がひし形の頂点となるとき， $a$ と $b$ の関係を表す等式を求めよ．(2)　 $a ，$ $b$ が(1)の等式を満たすとき， $A ，$ $B ，$ $C ，$ $D$ を頂点とする四角形の面積の最小値を求めよ．

出典：一橋大学 2024年度一般選抜（前期日程）文系第4問

方針

解法1（対角線と相加相乗を用いる方法）

$A + C = B + D = 0$ から、 $A C, B D$ が原点で互いに二等分されることを見抜く。したがって $A B C D$ は平行四辺形であり、ひし形条件は対角線の直交と同値である。面積は直交する対角線の積の半分で表し、 $a + b = 1$ のもとで $ab ≦ 1/4$ を使って最小化する。

解法2（辺の長さと微分を用いる別解）

平行四辺形であることを確認した後、隣り合う辺 $A B, B C$ の長さが等しいというひし形条件を使って $a + b = 1$ を導く。面積は対角線から $a$ だけの関数にし、その平方に現れる4次式を微分する。相加相乗を使わず、公式の出題意図が挙げる微分法で最小値を確認する。

解答

解法1（対角線と相加相乗を用いる方法）

(1)

A + C = B + D = (0, 0, 0)

であるから、線分 $A C$ と $B D$ は原点 $O$ で互いに二等分される。よって $A B C D$ は平行四辺形である。範囲条件から4点は退化しない。

空間内のひし形を、その平面上へ投影した模式図。

平行四辺形がひし形であるための必要十分条件は、2本の対角線が直交することである。ここで

A C = (- 2 a, 2, 2), B D = (2, - 2 b, 2)

なので

A C \cdot B D = 4 (1 - a - b) .

したがって求める関係式は

a + b = 1

である。

(2)

$b = 1 - a$ と $- 1 < a, b < 1$ から $0 < a, b < 1$ である。ひし形の面積を $S$ とすると、対角線が直交するので

S = \frac{1}{2} ∣ A C ∣∣ B D ∣ = 2 (a^{2} + 2) (b^{2} + 2) .

$a + b = 1$ を使えば

(a^{2} + 2) (b^{2} + 2) = (ab)^{2} + 2 (a^{2} + b^{2}) + 4 = (ab)^{2} - 4 ab + 6 = (ab - 2)^{2} + 2.

$a, b > 0$ かつ $a + b = 1$ より

0 < ab ≦ \frac{( a + b ) ^{2}}{4} = \frac{1}{4} .

この範囲では $(ab - 2)^{2} + 2$ は $ab$ が大きいほど小さい。等号 $ab = 1/4$ は $a = b = 1/2$ のとき成立する。したがって

S_{m i n} = 2 (\frac{1}{4} - 2)^{2} + 2 = \frac{9}{2} .

解法2（辺の長さと微分を用いる別解）

(1)

$A + C = B + D = 0$ なので $A B C D$ は平行四辺形である。隣り合う辺のベクトルは

A B = (- 1 - a, 1 + b, 0),

B C = (1 - a, 1 - b, 2) .

したがって

∣ A B ∣^{2} = (1 + a)^{2} + (1 + b)^{2},

∣ B C ∣^{2} = (1 - a)^{2} + (1 - b)^{2} + 4.

平行四辺形がひし形であることは $∣ A B ∣ = ∣ B C ∣$ と同値である。両辺の平方の差を取ると

∣ A B ∣^{2} - ∣ B C ∣^{2} = 4 (a + b - 1)

だから $a + b = 1$ を得る。

(2)

$b = 1 - a$ かつ $- 1 < a, b < 1$ より $0 < a < 1$ である。ひし形の面積は

S = 2 (a^{2} + 2) {(1 - a)^{2} + 2}

である。平方根は単調増加なので

F (a) = (a^{2} + 2) (a^{2} - 2 a + 3)

を最小化すればよい。微分すると

F^{'} (a) = 4 a^{3} - 6 a^{2} + 10 a - 4 = (2 a - 1) (2 a^{2} - 2 a + 4) .

第2因子は

2 a^{2} - 2 a + 4 = 2 (a - \frac{1}{2})^{2} + \frac{7}{2} > 0

である。よって $F$ は $0 < a < 1/2$ で減少し、 $1/2 < a < 1$ で増加する。したがって $a = 1/2$ 、すなわち $b = 1/2$ で最小となり

S_{m i n} = 2 (\frac{1}{4} + 2)^{2} = \frac{9}{2}

である。

一橋大学 2024年度文系数学 第4問

問題

方針

解法1（対角線と相加相乗を用いる方法）

解法2（辺の長さと微分を用いる別解）

解答

解法1（対角線と相加相乗を用いる方法）

(1)

(2)

解法2（辺の長さと微分を用いる別解）

(1)

(2)

一橋大学 2024年度
文系数学第4問