一橋大学 2024年度 一般選抜（前期日程）文系数学 第4問

(1) $$A+C=B+D=(0,0,0)$$であるから、線分$AC$と$BD$は原点$O$で互いに二等分される。よって$ABCD$は平行四辺形である。範囲条件から4点は退化しない。

空間内のひし形を、その平面上へ投影した模式図。

平行四辺形がひし形であるための必要十分条件は、2本の対角線が直交することである。ここで$$\overrightarrow{AC}=(-2a,2,2),\overrightarrow{BD}=(2,-2b,2)$$なので$$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=4(1-a-b)\mathrm{.}$$したがって求める関係式は$$a+b=1$$である。

(2)
$b=1-a$と$-1<a,b<1$から$0<a,b<1$である。ひし形の面積を$S$とすると、対角線が直交するので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =\frac{1}{2}\mathrm{\mid }AC\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }BD\mathrm{\mid }}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\sqrt{(a^2+2)(b^2+2)}\mathrm{.}}\end{array}$$$a+b=1$を使えば$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (a^2+2)(b^2+2)}& {\displaystyle =(ab{)}^2+2(a^2+b^2)+4}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(ab{)}^2-4ab+6}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(ab-2{)}^2+2.}\end{array}$$$a,b>0$かつ$a+b=1$より$$0<ab\leqq \frac{(a+b{)}^2}{4}=\frac{1}{4}\mathrm{.}$$この範囲では$(ab-2{)}^2+2$は$ab$が大きいほど小さい。等号$ab=1\mathrm{/}4$は$a=b=1\mathrm{/}2$のとき成立する。したがって$$S_{\min }=2\sqrt{{(\frac{1}{4}-2)}^2+2}=\frac{9}{2}\mathrm{.}$$

平行四辺形であることを確認した後、隣り合う辺$AB,BC$の長さが等しいというひし形条件を使って$a+b=1$を導く。面積は対角線から$a$だけの関数にし、その平方に現れる4次式を微分する。相加相乗を使わず、公式の出題意図が挙げる微分法で最小値を確認する。

(1)
$A+C=B+D=0$なので$ABCD$は平行四辺形である。隣り合う辺のベクトルは$$\overrightarrow{AB}=(-1-a,1+b,0),$$$$\overrightarrow{BC}=(1-a,1-b,2)\mathrm{.}$$したがって$$\mathrm{\mid }AB{\mathrm{\mid }}^2=(1+a{)}^2+(1+b{)}^2,$$$$\mathrm{\mid }BC{\mathrm{\mid }}^2=(1-a{)}^2+(1-b{)}^2+4.$$平行四辺形がひし形であることは$\mathrm{\mid }AB\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }BC\mathrm{\mid }$と同値である。両辺の平方の差を取ると$$\mathrm{\mid }AB{\mathrm{\mid }}^2-\mathrm{\mid }BC{\mathrm{\mid }}^2=4(a+b-1)$$だから$a+b=1$を得る。

(2)
$b=1-a$かつ$-1<a,b<1$より$0<a<1$である。ひし形の面積は$$S=2\sqrt{(a^2+2)\{(1-a{)}^2+2\}}$$である。平方根は単調増加なので$$F(a)=(a^2+2)(a^2-2a+3)$$を最小化すればよい。微分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F^{\mathrm{\prime }}(a)}& {\displaystyle =4a^3-6a^2+10a-4}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(2a-1)(2a^2-2a+4)\mathrm{.}}\end{array}$$第2因子は$$2a^2-2a+4=2{(a-\frac{1}{2})}^2+\frac{7}{2}>0$$である。よって$F$は$0<a<1\mathrm{/}2$で減少し、$1\mathrm{/}2<a<1$で増加する。したがって$a=1\mathrm{/}2$、すなわち$b=1\mathrm{/}2$で最小となり$$S_{\min }=2\sqrt{{(\frac{1}{4}+2)}^2}=\frac{9}{2}$$である。