一橋大学 2026年度文系数学第2問解答・解説

問題

数列 $a_{n}$ を $a_{1} = 2, a_{2} = 5$ および $a_{n + 2} = a_{n + 1} a_{n}^{2}$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$ で定める。 $a_{n} ≧ 1 0^{2026}$ となる最小の $n$ を求めよ。

出典：一橋大学 2026年度前期文系第2問

$b_{n} = lo g_{10} a_{n}$ とおき，線形漸化式を2つの一次結合で解く。単調性を確認し， $n = 14, 15$ の境目を評価する。

$a_{n} = 2^{p_{n} /2} 5^{q_{n} /2}$ と表し，2と5の指数を同じ特性方程式で追跡する。

$b_{n} = lo g_{10} a_{n}$ とおくと

b_{n + 2} = b_{n + 1} + 2 b_{n}, b_{1} = \frac{1}{2} lo g_{10} 2, b_{2} = \frac{1}{2} lo g_{10} 5

である。漸化式から $b_{n + 1} + b_{n}$ と $b_{n + 1} - 2 b_{n}$ は，それぞれ公比 $2, - 1$ の等比数列になるので

b_{n + 1} + b_{n} = 2^{n - 2}, b_{n + 1} - 2 b_{n} = \frac{1}{2} lo g_{10} \frac{5}{4} (- 1)^{n - 1} .

両式の差をとると

3 b_{n} = 2^{n - 2} - \frac{1}{2} lo g_{10} \frac{5}{4} (- 1)^{n - 1}

を得る。 $0 < \frac{1}{2} lo g_{10} (5/4) < 1/2$ より

3 b_{14} < 4096 + \frac{1}{2} < 6078, 3 b_{15} > 8192 - \frac{1}{2} > 6078.

また全項が1より大きいので $a_{n + 2} = a_{n + 1} a_{n}^{2} > a_{n + 1}$ である。したがって $a_{n} ≧ 1 0^{2026}$ となる最小の $n$ は $15$ である。

$a_{1} = 2^{1/2}$ ， $a_{2} = 5^{1/2}$ だから

a_{n} = 2^{p_{n} /2} 5^{q_{n} /2}

とおく。指数を比較し，特性方程式 $r^{2} - r - 2 = 0$ を用いると

p_{n + 2} = p_{n + 1} + 2 p_{n}, (p_{1}, p_{2}) = (1, 0), q_{n + 2} = q_{n + 1} + 2 q_{n}, (q_{1}, q_{2}) = (0, 1), p_{n} = \frac{2 ^{n - 1} + 2 ( - 1 ) ^{n - 1}}{3}, q_{n} = \frac{2 ^{n - 1} - ( - 1 ) ^{n - 1}}{3}

を得る。したがって

lo g_{10} a_{n} = \frac{2 ^{n - 2}}{3} + (- 1)^{n - 1} (\frac{1}{2} lo g_{10} 2 - \frac{1}{6})

であり，補正項の絶対値は $1/3$ 未満である。よって

lo g_{10} a_{14} < \frac{4096}{3} + \frac{1}{3} < 2026, lo g_{10} a_{15} > \frac{8192}{3} - \frac{1}{3} > 2026.

数列は単調増加するから，求める最小の $n$ は $15$ である。