一橋大学 2026年度 前期文系数学 第2問

$b_n={\log }_{10}{a}_n$ とおくと$$b_{n+2}=b_{n+1}+2b_n,b_1=\frac{1}{2}{\log }_{10}2,b_2=\frac{1}{2}{\log }_{10}5$$である。漸化式から $b_{n+1}+b_n$ と $b_{n+1}-2b_n$ は，それぞれ公比 $2,-1$ の等比数列になるので$$b_{n+1}+b_n=2^{n-2},b_{n+1}-2b_n=\frac{1}{2}{\log }_{10}\frac{5}{4}(-1{)}^{n-1}\mathrm{.}$$両式の差をとると$$3b_n=2^{n-2}-\frac{1}{2}{\log }_{10}\frac{5}{4}(-1{)}^{n-1}$$を得る。$0<\frac{1}{2}{\log }_{10}(5\mathrm{/}4)<1\mathrm{/}2$ より$$3b_{14}<4096+\frac{1}{2}<6078,3b_{15}>8192-\frac{1}{2}>6078.$$また全項が1より大きいので $a_{n+2}=a_{n+1}{a}_n^2>a_{n+1}$ である。したがって $a_n\geqq {10}^{2026}$ となる最小の $n$ は $15$ である。

$a_n=2^{p_n\mathrm{/}2}{5}^{q_n\mathrm{/}2}$ と表し，2と5の指数を同じ特性方程式で追跡する。

$a_1=2^{1\mathrm{/}2}$，$a_2=5^{1\mathrm{/}2}$ だから$$a_n=2^{p_n\mathrm{/}2}{5}^{q_n\mathrm{/}2}$$とおく。指数を比較し，特性方程式 $r^2-r-2=0$ を用いると$$\begin{array}{c}{\displaystyle p_{n+2}=p_{n+1}+2p_n,(p_1,p_2)=(1,0),}\\ {\displaystyle q_{n+2}=q_{n+1}+2q_n,(q_1,q_2)=(0,1),}\end{array}\begin{array}{c}{\displaystyle p_n=\frac{2^{n-1}+2(-1{)}^{n-1}}{3},}\\ {\displaystyle q_n=\frac{2^{n-1}-(-1{)}^{n-1}}{3}}\end{array}$$を得る。したがって$${\log }_{10}{a}_n=\frac{2^{n-2}}{3}+(-1{)}^{n-1}(\frac{1}{2}{\log }_{10}2-\frac{1}{6})$$であり，補正項の絶対値は $1\mathrm{/}3$ 未満である。よって$${\log }_{10}{a}_{14}<\frac{4096}{3}+\frac{1}{3}<2026,{\log }_{10}{a}_{15}>\frac{8192}{3}-\frac{1}{3}>2026.$$数列は単調増加するから，求める最小の $n$ は $15$ である。