問題
4本のひもがある。8つある端から2つずつ無作為に選び4つの組に分け，同じ組に属する端どうしを結ぶ。こうしてできる輪の数を とする。ただし，輪とは1つあるいは複数のひもが結ばれて，ひとつながりになったものをいう。たとえば下図のとき，1つのひもからなる輪が2つと，2つのひもからなる輪が1つできている。この図では2つの輪がからまっているが， と数える。
(1) となる確率を求めよ。
(2) となる確率を求めよ。
(3) の期待値を求めよ。
方針
解法1
8個の端の完全な組分けは 通りである。 は全てのひもが自分自身で結ばれる場合， は4本すべてが1つの輪になる場合として数える。期待値は も数えて分布を完成させてから計算する。
解法2
(1),(2)は端の組分けを直接数える。(3)では， 本の無作為な結び方へ第 のひもを挿入する生成法を考える。新しい輪が1個増える確率は なので，期待値を漸化的に求められる。
解答
解法1
4本のひもを区別し，各ひもの2つの端も区別して考える。8個の端を2個ずつ4組に分ける総数は
通りである。
(1)
となるのは，4本すべてのひもについて，同じひもの両端どうしを結ぶ場合だけである。したがって確率は
である。
(2)
1つの端を固定し，そこから1つの大きな輪をたどる。固定した端と結ぶ相手は，他の3本のひもの6個の端のいずれかである。次に，そのひもの反対側の端と結ぶ相手は，まだ使っていない2本のひもの4個の端のいずれかである。さらに次は残り1本のひもの2個の端のいずれかで，最後は固定したひもの残りの端に結ばれる。よって となる組分けは
通りである。したがって確率は
である。
(3)
となるのは，1本だけでできる輪が2つ，残り2本でできる輪が1つの場合である。1本だけでできる輪にする2本の選び方は 通り，残り2本の端を互い違いに結ぶ方法は2通りであるから， は12通りである。
したがって となる場合は
通りである。よって期待値は
である。
解法2
端を区別すると，8個の端を2個ずつ組にする総数は
通りである。
(1)
となる結び方は，各ひもの両端を結ぶ1通りだけなので，確率は
である。
(2)
1本目の片端から大きな輪をたどる。次に結ぶ端は他の3本から6通り，その次は未使用の2本から4通り，さらに残り1本から2通りである。よって は 通りで，確率は
である。
(3)
本のひもを結んだときの輪の数の期待値を とする。 本の無作為な結び方に第 のひもを加える。新しいひもの一方の端の相手は，残る 個の端の中で一様である。
相手が新しいひものもう一方の端なら独立な輪が1個増え，その確率は である。それ以外なら，既存の結び目1本を切ってその間に新しいひもを挿入した形になり，輪の個数は変わらない。この操作は 本の端のすべての組分けを等確率に生成する。したがって
である。 だから
を得る。