一橋大学 2026年度文系数学第3問解答・解説

問題

3次関数 $f (x)$ および実数 $α, β$ は以下の3つの条件を満たす。

(i) $f (x)$ の3次の項の係数は $1$ である。

(ii) $f (x)$ は $x = α$ と $x = β$ において極値をとる。

(iii) $- 2 ≦ α ≦ - 1$ かつ $1 ≦ β ≦ 2$ 。

このとき， $x y$ 平面上の2点 $(α, f (α))$ ， $(β, f (β))$ を通る直線の傾き $k$ のとり得る値の範囲を求めよ。

出典：一橋大学 2026年度前期文系第3問

$f^{'} (x) = 3 (x - α) (x - β)$ を積分し，2点間の傾きを $β - α$ だけの式へ整理する。

中点 $m$ と半差 $d$ を用い，2点間の傾きを導関数の平均値として積分する。

3次の項の係数と極値の条件から，ある定数 $C$ を用いて

f^{'} (x) = 3 (x - α) (x - β), f (x) = x^{3} - \frac{3}{2} (α + β) x^{2} + 3 α β x + C .

よって2点を通る直線の傾きは

k = \frac{f ( β ) - f ( α )}{β - α} = α^{2} + α β + β^{2} - \frac{3}{2} (α + β)^{2} + 3 α β = - \frac{1}{2} (β - α)^{2} .

条件より $2 ≦ β - α ≦ 4$ で，この区間の各値は実現できる。したがって $- 8 ≦ k ≦ - 2$ である。

$m = (α + β) /2$ ， $d = (β - α) /2 > 0$ とおくと $f^{'} (x) = 3 {(x - m)^{2} - d^{2}}$ である。導関数の平均をとれば

k = \frac{f ( β ) - f ( α )}{β - α} = \frac{3}{2 d} \int_{- d}^{d} (t^{2} - d^{2}) d t = \frac{3}{2 d} [\frac{t ^{3}}{3} - d^{2} t]_{- d}^{d} = - 2 d^{2} = - \frac{1}{2} (β - α)^{2} .

$2 ≦ β - α ≦ 4$ の各値が実現できるから， $- 8 ≦ k ≦ - 2$ である。