問題
座標空間内に4点 ，，， をとる。 を辺にもつ立方体を とし，3点 ，， を通る平面を とする。 による の切り口を底面とし， を頂点とする錐体の体積を求めよ。
出典：一橋大学 2026年度 前期 文系 第4問
方針
解法1
まず平面 の方程式を求める。座標軸との交点でできる三角形から，立方体の外にはみ出る3つの相似な小三角形を除いて切り口の面積を出す。最後に原点から平面までの距離を高さとして錐体の体積を計算する。
解法2
切り口面積と原点から平面までの距離を別々に求めず，座標軸との切片を底面とする大きな四面体の体積を先に出す。切り口で除かれる3つの三角形の面積比は，対応する錐体の体積比に等しい。
解答
解法1
平面 の法線ベクトルを とおく。， であるから，
を満たす。よって法線ベクトルとして をとれる。点 を通るので，平面 は
である。
この平面と 軸との交点をそれぞれ とすると，
である。， より，三角形 の面積 は
である。
三角形 から，立方体の外に出る部分を除く。 側で除かれる三角形は相似比 ， 側で除かれる三角形は相似比 ， 側で除かれる三角形は相似比 である。したがって切り口の面積 は
である。
大三角形から3頂点側の相似な小三角形を除く関係は，次の模式図で確認できる。
原点から平面 までの距離は
である。よって求める体積は
である。
解法2
3点 を通る平面は，解法1と同様に
である。座標軸との交点を とすると
となる。四面体 の体積は
である。
三角形 のうち立方体の外にある部分は， 側の3つの相似な小三角形である。その相似比は順に
だから，切り口の面積は三角形 の面積の
倍である。これらをすべて頂点 と結んだ錐体は高さが共通なので，体積比も底面積比に等しい。したがって求める体積は
である。