一橋大学 2026年度 前期文系数学 第4問

平面 $\alpha$ の法線ベクトルを $(p,q,r)$ とおく。$$\overrightarrow{ED}=(0,-4,3)$$，$$\overrightarrow{EF}=(3,0,-3)$$ であるから，$$-4q+3r=0,3p-3r=0$$を満たす。よって法線ベクトルとして $(4,3,4)$ をとれる。点 $E(0,6,3)$ を通るので，平面 $\alpha$ は$$4x+3y+4z=30$$である。

この平面と $x,y,z$ 軸との交点をそれぞれ $P,Q,R$ とすると，$$P(\frac{15}{2},0,0),Q(0,10,0),R(0,0,\frac{15}{2})$$である。$$\overrightarrow{QP}=(15\mathrm{/}2,-10,0)$$，$$\overrightarrow{QR}=(0,-10,15\mathrm{/}2)$$ より，三角形 $PQR$ の面積 $S_0$ は$$S_0=\frac{1}{2}\sqrt{\mathrm{\mid }\overrightarrow{QP}{\mathrm{\mid }}^2\mathrm{\mid }\overrightarrow{QR}{\mathrm{\mid }}^2-(\overrightarrow{QP}\cdot \overrightarrow{QR}{)}^2}=\frac{75\sqrt{41}}{8}$$である。

三角形 $PQR$ から，立方体の外に出る部分を除く。$x=6$ 側で除かれる三角形は相似比 $(15\mathrm{/}2-6)\mathrm{/}(15\mathrm{/}2)=1\mathrm{/}5$，$y=6$ 側で除かれる三角形は相似比 $(10-6)\mathrm{/}10=2\mathrm{/}5$，$z=6$ 側で除かれる三角形は相似比 $(15\mathrm{/}2-6)\mathrm{/}(15\mathrm{/}2)=1\mathrm{/}5$ である。したがって切り口の面積 $S$ は$$S=(1-\frac{1}{25}-\frac{4}{25}-\frac{1}{25})S_0=\frac{19}{25}\cdot \frac{75\sqrt{41}}{8}=\frac{57\sqrt{41}}{8}$$である。

大三角形から3頂点側の相似な小三角形を除く関係は，次の模式図で確認できる。

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原点から平面 $4x+3y+4z=30$ までの距離は$$h=\frac{30}{\sqrt{4^2+3^2+4^2}}=\frac{30}{\sqrt{41}}$$である。よって求める体積は$$\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}\cdot \frac{57\sqrt{41}}{8}\cdot \frac{30}{\sqrt{41}}=\frac{285}{4}$$である。

切り口面積と原点から平面までの距離を別々に求めず，座標軸との切片を底面とする大きな四面体の体積を先に出す。切り口で除かれる3つの三角形の面積比は，対応する錐体の体積比に等しい。

3点 $D,E,F$ を通る平面は，解法1と同様に$$4x+3y+4z=30$$である。座標軸との交点を $P,Q,R$ とすると$$P(\frac{15}{2},0,0),Q(0,10,0),R(0,0,\frac{15}{2})$$となる。四面体 $OPQR$ の体積は$$V_0=\frac{1}{6}\cdot \frac{15}{2}\cdot 10\cdot \frac{15}{2}=\frac{375}{4}$$である。

三角形 $PQR$ のうち立方体の外にある部分は，$P,Q,R$ 側の3つの相似な小三角形である。その相似比は順に$$\frac{1}{5},\frac{2}{5},\frac{1}{5}$$だから，切り口の面積は三角形 $PQR$ の面積の$$1-{\left(\frac{1}{5}\right)}^2-{\left(\frac{2}{5}\right)}^2-{\left(\frac{1}{5}\right)}^2=\frac{19}{25}$$倍である。これらをすべて頂点 $O$ と結んだ錐体は高さが共通なので，体積比も底面積比に等しい。したがって求める体積は$$\frac{19}{25}{V}_0=\frac{19}{25}\cdot \frac{375}{4}=\frac{285}{4}$$である。