一橋大学 2026年度 前期文系数学 第1問

$u=2x-7$ とおく。すると $u$ は奇数で，$x=(u+7)\mathrm{/}2$ であり，$$x^2-7x+1=\frac{u^2-45}{4}$$である。

まず $u^2\geqq 45$ の場合を考える。このとき $u^2-(2y{)}^2=45$ であるから，$$(u+2y)(u-2y)=45$$となる。$y>0$ より $u+2y>u-2y$ である。正負を含めて積が $45$ となる奇数の組を調べると，$$(u+2y,u-2y)=(45,1),(15,3),(9,5),(-5,-9),(-3,-15),(-1,-45)$$である。これらから順に$$(x,y)=(15,11),(8,3),(7,1),(0,1),(-1,3),(-8,11)$$を得る。

次に $u^2<45$ の場合を考える。このとき $(2y{)}^2=45-u^2$ である。$u$ は奇数で $$\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }<\sqrt{45}$$ だから，$u=\pm 1,\pm 3,\pm 5$ を調べればよい。$45-u^2$ が正の偶数の平方となるのは $u=\pm 3$ のときだけで，このとき $2y=6$ である。したがって $(x,y)=(2,3),(5,3)$ を得る。

以上より，求める整数の組は$$(-8,11),(-1,3),(0,1),(2,3),(5,3),(7,1),(8,3),(15,11)$$である。