北海道大学 1997年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1)

与えられた2次関数は $$y=-x^2+2px+a-p^2=a-(x-p{)}^2$$ である。水平線 $y=k$ と交わる点は $k=a-(x-p{)}^2$ を満たす。すなわち $(x-p{)}^2=a-k$ である。相異なる2点で交わるための条件は $a-k>0$ つまり $k<a$ である。

このとき2つの交点は $$x=p\pm \sqrt{a-k}$$ である。$x$ 座標が小さい方を $A$、大きい方を $B$ とするから $$A=(p-\sqrt{a-k},k),B=(p+\sqrt{a-k},k)$$ である。

(2)

今はさらに $k>0$ なので $0<k<a$ である。長方形 $A{A}^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}B$ の高さは $k$、幅は $$(p+\sqrt{a-k})-(p-\sqrt{a-k})=2\sqrt{a-k}$$ である。したがって周の長さは $$L(k)=2\{k+2\sqrt{a-k}\}=2k+4\sqrt{a-k}$$ である。 $$s=\sqrt{a-k}$$ とおくと、$0<k<a$ より $$0<s<\sqrt{a}$$ である。また $k=a-s^2$ なので $$L=2(a-s^2)+4s=2a+2-2(s-1{)}^2$$ である。 $0<a\leqq 1$ のとき、$$0<s<\sqrt{a}\leqq 1$$ であるから、$L$ はこの区間で増加する。したがって端点はどちらも含まれず、値域は $$2a<L<4\sqrt{a}$$ である。 $a>1$ のとき、$s=1$ が区間内に入るので最大値は $2a+2$ であり、これは実際に取られる。下限は区間の両端に近づけたときの値 $2a,4\sqrt{a}$ の小さい方である。ただし端点は含まれないので、値域は $$\min (2a,4\sqrt{a})<L\leqq 2a+2$$ である。

周長 $L(k)$ を直接微分し、最大値と開区間の両端極限を比較する。下限がどちらの端から生じるかは $\min (2a,4\sqrt{a})$ でまとめる。

(1) $$y=a-(x-p{)}^2$$だから、$y=k$ と相異なる2点で交わる条件は $k<a$。交点は$$A=(p-\sqrt{a-k},k),B=(p+\sqrt{a-k},k)\mathrm{.}$$(2)

$0<k<a$ で、長方形の高さは $k$、幅は $2\sqrt{a-k}$ だから$$L(k)=2k+4\sqrt{a-k}\mathrm{.}$$微分すると$$L^{\mathrm{\prime }}(k)=2-{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{a-k}}}\mathrm{.}$$$0<a\leqq 1$ では常に $$\sqrt{a-k}<1$$ なので $L^{\mathrm{\prime }}(k)<0$。また$$\underset{k\to 0+}{\lim }L(k)=4\sqrt{a},\underset{k\to a-}{\lim }L(k)=2a$$で両端は取らない。よって$$2a<L<4\sqrt{a}\mathrm{.}$$$a>1$ では $k=a-1$ で最大値$$L(a-1)=2a+2$$を取る。最小値は開区間の両端極限の小さい方へ近づくが取られない。したがって$$\min (2a,4\sqrt{a})<L\leqq 2a+2.$$