北海道大学 1997年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

まず定義域は $-a<x<a$ である。$f$ について $$f(-x)=x+\log (a-x)-\log (a+x)=-f(x)$$ であるから、$f$ は奇関数である。また $f(0)=0$ なので、$x=0$ は常に解である。

導関数を求めると $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-1+{\displaystyle \frac{1}{a+x}}+{\displaystyle \frac{1}{a-x}}=-1+{\displaystyle \frac{2a}{a^2-x^2}}$$ である。

まず $0<a\leqq 2$ の場合を考える。$0<x<a$ では $a^2-x^2<a^2$ だから $${\displaystyle \frac{2a}{a^2-x^2}}>{\displaystyle \frac{2a}{a^2}}={\displaystyle \frac{2}{a}}\geqq 1$$ である。したがって $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ が $0<x<a$ で成り立つ。よって $f$ は正の側で増加し、$f(0)=0$ だから正の解はない。奇関数性から負の解もない。したがって解は $x=0$ の1個である。

次に $a>2$ の場合を考える。このとき $f^{\mathrm{\prime }}(0)=-1+{\displaystyle \frac{2}{a}}<0$ である。$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ は $${\displaystyle \frac{2a}{a^2-x^2}}=1$$ すなわち $x^2=a^2-2a$ である。正の側では $$x_0=\sqrt{a^2-2a}$$ がただ1つの臨界点である。$0<x<x_0$ では $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$、$x_0<x<a$ では $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ となるので、$f$ は正の側でいったん減少し、その後増加する。

また $$\underset{x\to a-0}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty }$$ である。$x=0$ の直後では $f$ は減少するので負になり、その後増加して $\mathrm{\infty }$ に向かう。したがって正の解はちょうど1個である。奇関数性により負の解も1個ある。よって解の個数は $3$ である。

以上より、異なる実数解の個数は$$\{\begin{array}{ll}1& (0<a\leqq 2),\\ 3& (a>2)\end{array}$$である。

正の解について方程式を指数化し、パラメータ $a$ を $h(x)=x\coth (x\mathrm{/}2)$ の値域として捉える。$h$ が $2$ から無限大へ単調増加することを示し、奇関数性で負の解も数える。

$f$ は奇関数で、$x=0$ は常に解である。正の解だけを調べる。

$x>0$ で $f(x)=0$ を指数化すると$${\displaystyle \frac{a+x}{a-x}}=e^x\mathrm{.}$$整理して$$a=h(x):=x{\displaystyle \frac{e^x+1}{e^x-1}}=x\coth {\displaystyle \frac{x}{2}}\mathrm{.}$$$x\to 0+$ で $h(x)\to 2$、$x\to \mathrm{\infty }$ で $h(x)\to \mathrm{\infty }$ である。また$$h^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{e^{2x}-1-2x{e}^x}{(e^x-1{)}^2}}={\displaystyle \frac{2e^x(\sinh x-x)}{(e^x-1{)}^2}}>0$$である。最後の不等式は $x>0$ で $\sinh x>x$ から従う。

したがって $h$ の値域は $(2,\mathrm{\infty })$。ゆえに $0<a\leqq 2$ では正の解はなく、解は $0$ の1個だけである。$a>2$ では正の解がただ1個あり、奇関数性により負の解もただ1個ある。結論は$$\{\begin{array}{ll}1\text{個}& (0<a\leqq 2),\\ 3\text{個}& (a>2)\mathrm{.}\end{array}$$