北海道大学 2000年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

放物線上の点を $P=(t,t^2,0)$ とおく。$a<0$ なので $t^2-a>0$ であり、以下の分母は $0$ にならない。直線 $AP$ 上の点は $(0,a,1)+\lambda (t,t^2-a,-1)$ と表される。これが $xz$ 平面上にあるとき $y=0$ だから $$a+\lambda (t^2-a)=0,\lambda =-{\displaystyle \frac{a}{t^2-a}}$$ である。したがって交点 $Q=(X,0,Z)$ は $$X=-{\displaystyle \frac{at}{t^2-a}},Z=1+{\displaystyle \frac{a}{t^2-a}}={\displaystyle \frac{t^2}{t^2-a}}$$ である。

この点がある1つの円に含まれると仮定する。$xz$ 平面内の円は、適当な定数 $u,v,w$ を用いて $X^2+Z^2+uX+vZ+w=0$ と書ける。ここへ上の $X,Z$ を代入する。$X$ は $t$ について奇関数、他の項は偶関数であり、$t$ と $-t$ の両方で成り立つ必要があるから、まず $u=0$ でなければならない。

そこで $s=t^2$ とおくと、$$X^2={\displaystyle \frac{a^{2}s}{(s-a{)}^2}},Z={\displaystyle \frac{s}{s-a}}$$ である。円の式に代入し、$(s-a{)}^2$ を掛けると $$a^{2}s+s^2+vs(s-a)+w(s-a{)}^2=0$$ が無限に多くの $s\geqq 0$ で成り立つ。したがって恒等式として係数がすべて $0$ でなければならない。

係数を比較すると $1+v+w=0,$ $a^2-av-2aw=0,$ $a^{2}w=0$ である。$a<0$ より $a\mathrm{\ne }0$ だから $w=0$ であり、さらに $v=-1$ となる。これを中央の式に代入して $a^2+a=0$ を得る。$a<0$ より $a=-1$ である。

実際に $a=-1$ のときは $$X={\displaystyle \frac{t}{t^2+1}},Z={\displaystyle \frac{t^2}{t^2+1}}$$ であり、$$X^2+Z^2-Z={\displaystyle \frac{t^2}{(t^2+1{)}^2}}+{\displaystyle \frac{t^4}{(t^2+1{)}^2}}-{\displaystyle \frac{t^2}{t^2+1}}=0$$となる。これは $$X^2+{(Z-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2={\displaystyle \frac{1}{4}}$$ という円である。よって求める値は $a=-1$ である。

媒介変数表示から $t$ を消去し，軌跡そのものの2次方程式を得る。円なら2つの2乗項の係数が等しいことを使って $a$ を決める。

放物線上の点を $P=(t,t^2,0)$，交点を $Q=(X,0,Z)$ とする。直線 $AP$ の表示から$$X=-{\displaystyle \frac{at}{t^2-a}},Z={\displaystyle \frac{t^2}{t^2-a}}\mathrm{.}$$ここから$$1-Z=-{\displaystyle \frac{a}{t^2-a}},X=t(1-Z)$$である。また$$t^2=-{\displaystyle \frac{aZ}{1-Z}}\mathrm{.}$$したがって$$X^2=t^2(1-Z{)}^2=-aZ(1-Z),$$すなわち軌跡は$$X^2-a{Z}^2+aZ=0$$を満たす。

この2次曲線が1つの円に含まれるには，$X^2$ と $Z^2$ の係数が等しくなければならない。よって$$-a=1,a=-1.$$実際，$a=-1$ のとき$$X^2+Z^2-Z=0,$$すなわち$$X^2+{(Z-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2={\displaystyle \frac{1}{4}}$$である。したがって求める値は $a=-1$ である。