北海道大学 2000年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

被積分関数は $x$ を $-x$ に替えると2つの因子が入れ替わるだけなので偶関数である。したがって$$F(a)=2{\int }_0^a\sin \mid x+{\displaystyle \frac{a}{2}}\mid \sin \mid x-{\displaystyle \frac{a}{2}}\mid dx$$である。$0\leqq x\leqq a\mathrm{/}2$ では$$\mid x+{\displaystyle \frac{a}{2}}\mid =x+{\displaystyle \frac{a}{2}},\mid x-{\displaystyle \frac{a}{2}}\mid ={\displaystyle \frac{a}{2}}-x$$であり、$a\mathrm{/}2\leqq x\leqq a$ では $$\mid x-{\displaystyle \frac{a}{2}}\mid =x-{\displaystyle \frac{a}{2}}$$ である。

よって積和公式を用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F(a)}& {\displaystyle =2{\int }_0^{a\mathrm{/}2}\sin (x+{\displaystyle \frac{a}{2}})\sin ({\displaystyle \frac{a}{2}}-x)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +2{\int }_{a\mathrm{/}2}^a\sin (x+{\displaystyle \frac{a}{2}})\sin (x-{\displaystyle \frac{a}{2}})dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^{a\mathrm{/}2}\{\cos 2x-\cos a\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\int }_{a\mathrm{/}2}^a\{\cos a-\cos 2x\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin 2x-x\cos a]}_0^{a\mathrm{/}2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{[x\cos a-{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin 2x]}_{a\mathrm{/}2}^a}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =({\displaystyle \frac{1}{2}}\sin a-{\displaystyle \frac{a}{2}}\cos a)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +({\displaystyle \frac{a}{2}}\cos a-{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin 2a+{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin a)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sin a-{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin 2a=\sin a(1-\cos a)}\end{array}$$である。

ここから最大・最小を求める。微分すると $F^{\mathrm{\prime }}(a)=\cos a-\cos 2a$ であり、$F^{\mathrm{\prime }}(a)=0$ は $\cos a=\cos 2a$ すなわち $2{\cos }^{2}a-\cos a-1=0$ と同値である。したがって $$\cos a=1\text{または}\cos a=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。 $F(a)=\sin a(1-\cos a)$ は周期 $2\pi$ の連続関数である。$1-\cos a\geqq 0$ なので、正の最大値は $\sin a>0$ かつ $\cos a=-1\mathrm{/}2$ のとき、負の最小値は $\sin a<0$ かつ $\cos a=-1\mathrm{/}2$ のときに生じる。よって最大値は ${\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{4}}$ で、これを与える $a$ は $$a={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}+2k\pi (k=0,1,2,\dots )$$ である。最小値は $-{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{4}}$ で、これを与える $a$ は $$a={\displaystyle \frac{4\pi }{3}}+2k\pi (k=0,1,2,\dots )$$ である。

積和公式で $F(a)$ を1つの三角式へ整理した後，その2乗を $c=\cos a$ の4次式として最大化する。絶対値の最大を先に決め，最後に $\sin a$ の符号で最大値と最小値を分ける。

被積分関数は偶関数である。$0\leqq x\leqq a\mathrm{/}2$ と $a\mathrm{/}2\leqq x\leqq a$ に分け，積和公式を使うと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F(a)}& {\displaystyle =2{\int }_0^{a\mathrm{/}2}\sin (x+{\displaystyle \frac{a}{2}})\sin ({\displaystyle \frac{a}{2}}-x)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +2{\int }_{a\mathrm{/}2}^a\sin (x+{\displaystyle \frac{a}{2}})\sin (x-{\displaystyle \frac{a}{2}})dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sin a-{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin 2a}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sin a(1-\cos a)\mathrm{.}}\end{array}$$$c=\cos a$ とおくと$$F(a{)}^2=(1-c{)}^3(1+c)(-1\leqq c\leqq 1)\mathrm{.}$$右辺を $H(c)$ とすると$$H^{\mathrm{\prime }}(c)=-2(1-c{)}^2(1+2c)\mathrm{.}$$したがって最大は $c=-1\mathrm{/}2$ のときで，$$\mathrm{\mid }F(a){\mathrm{\mid }}_{\max }=\sqrt{{\displaystyle \frac{27}{16}}}={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{4}}\mathrm{.}$$$\sin a>0$ となる解を選べば最大値，$\sin a<0$ となる解を選べば最小値である。よって$$\max F={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{4}},a={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}+2k\pi ,$$$$\min F=-{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{4}},a={\displaystyle \frac{4\pi }{3}}+2k\pi$$$(k=0,1,2,\dots )$ である。