北海道大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)
三角形の面積は $${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot AB\cdot CD={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 2\cdot CD=CD$$ であるから、面積が1であることより $CD=1$ である。垂線の足 $D$ は線分 $AB$ 上にあるので、$AD=x$ とおくと $$BD=2-x,0\leqq x\leqq 2$$ である。

直角三角形 $ACD$、$BCD$ に三平方の定理を用いると $b^2=A{C}^2=x^2+1,$ $$a^2=B{C}^2=(2-x{)}^2+1=x^2-4x+5$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a^2+(2\sqrt{3}-1)b^2}& {\displaystyle =(x^2-4x+5)+(2\sqrt{3}-1)(x^2+1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\sqrt{3}{x}^2-4x+4+2\sqrt{3}\mathrm{.}}\end{array}$$よって、求める式は $2\sqrt{3}{x}^2-4x+4+2\sqrt{3}$ である。

(2)
(1)の2次式を平方完成すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 2\sqrt{3}{x}^2-4x+4+2\sqrt{3}}& {\displaystyle =2\sqrt{3}(x^2-{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}x)+4+2\sqrt{3}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\sqrt{3}{(x-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}})}^2+4+{\displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $$0\leqq {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\leqq 2$$ であるから、条件 $0\leqq x\leqq 2$ の範囲内で最小を与える。したがって、最小にする値は $$x={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$$ である。

このとき直角三角形 $ACD$ において $$\tan \mathrm{\angle }BAC={\displaystyle \frac{CD}{AD}}={\displaystyle \frac{1}{1\mathrm{/}\sqrt{3}}}=\sqrt{3}$$ である。$D$ が線分 $AB$ 上にあるので $\mathrm{\angle }BAC$ は鋭角または直角であり、$\tan \theta =\sqrt{3}$ を満たす該当角は $\mathrm{\angle }BAC={60}^{\circ }$ である。

面積条件から辺長を角度だけで表し、余弦定理を用いる。最後に $u=\cot \theta$ と置けば、目的式は1変数の完全平方になる。

(1)

$\theta =\mathrm{\angle }BAC$ とおく。面積条件より$$1={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot AB\cdot AC\sin \theta =AC\sin \theta$$だから$$b=AC={\displaystyle \frac{1}{\sin \theta }}\mathrm{.}$$余弦定理より$$a^2=B{C}^2=4+{\displaystyle \frac{1}{{\sin }^2\theta }}-4\cot \theta \mathrm{.}$$一方、垂足 $D$ が線分 $AB$ 上にあるので $x=AD=\cot \theta$ である。恒等式$${\displaystyle \frac{1}{{\sin }^2\theta }}=1+{\cot }^2\theta$$を用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a^2+(2\sqrt{3}-1)b^2}& {\displaystyle =4+2\sqrt{3}(1+{\cot }^2\theta )-4\cot \theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\sqrt{3}{x}^2-4x+4+2\sqrt{3}\mathrm{.}}\end{array}$$(2)

上式を平方完成すると$$2\sqrt{3}{(x-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}})}^2+4+{\displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{3}}\mathrm{.}$$したがって $x=1\mathrm{/}\sqrt{3}$ のとき最小である。このとき$$\cot \theta ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$$であり、垂足条件から $0<\theta \leqq {90}^{\circ }$ だから$$\mathrm{\angle }BAC=\theta ={60}^{\circ }\mathrm{.}$$