北海道大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

点 $C$ から直線 $AB$ に下ろした垂線の足を $D$ とし、$AD=x$ とおく。$AB=2$ で三角形の面積が1だから $${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot AB\cdot CD=1$$ より $CD=1$ である。

したがって、直角三角形 $ACD$、$BCD$ に三平方の定理を用いると $A{C}^2=x^2+1,$ $B{C}^2=(2-x{)}^2+1=x^2-4x+5$ である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle B{C}^2+(2\sqrt{3}-1)A{C}^2}& {\displaystyle =(x^2-4x+5)+(2\sqrt{3}-1)(x^2+1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\sqrt{3}{x}^2-4x+4+2\sqrt{3}\mathrm{.}}\end{array}$$これを平方完成すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 2\sqrt{3}{x}^2-4x+4+2\sqrt{3}}& {\displaystyle =2\sqrt{3}{(x-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}})}^2+4+{\displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって最小となるのは $$x={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$$ のときである。

このとき $$\tan \mathrm{\angle }BAC={\displaystyle \frac{CD}{AD}}={\displaystyle \frac{1}{1\mathrm{/}\sqrt{3}}}=\sqrt{3}$$ であるから $\mathrm{\angle }BAC={60}^{\circ }$ である。

面積条件から $AC$ を角度で表し、余弦定理で目的式を $u=\cot \theta$ の2次式にする。

$\theta =\mathrm{\angle }BAC$ とおく。三角形の面積が1で $AB=2$ だから$$AC\sin \theta =1,AC={\displaystyle \frac{1}{\sin \theta }}\mathrm{.}$$余弦定理より$$B{C}^2=4+{\displaystyle \frac{1}{{\sin }^2\theta }}-4\cot \theta \mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle B{C}^2+(2\sqrt{3}-1)A{C}^2}& {\displaystyle =4+2\sqrt{3}(1+{\cot }^2\theta )-4\cot \theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\sqrt{3}{(\cot \theta -{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}})}^2+4+{\displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$$0<\theta <{180}^{\circ }$ では $\cot \theta$ はすべての実数値をとるので、最小は$$\cot \theta ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$$のときである。よって$$\mathrm{\angle }BAC={60}^{\circ }\mathrm{.}$$