北海道大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)
4桁の自然数なので、千の位は0ではない。この条件だけが0を含む場合を特別にする。

まず、使う2種類の数字がどちらも0でない場合を数える。数字の組の選び方は ${}_9{\mathrm{C}}_2=36$ 通りである。組を1つ固定すると、4つの各桁には2通りの入れ方があるが、ちょうど2種類の数字から成り立つには、2種類のうち片方だけでできている列を除く必要がある。したがって、この場合の個数は $${}_9{\mathrm{C}}_2(2^4-2)=36\cdot 14=504$$ である。

次に、使う2種類の数字の一方が0である場合を数える。0と組になる数字は1から9までの9通りである。この数字をdとすると、千の位は必ずdでなければならない。残り3桁には0またはdを入れられるが、0が一度も出ないと1種類の数字だけになってしまう。よって残り3桁の入れ方は $2^3-1=7$ 通りである。この場合の個数は $9(2^3-1)=63$ である。

以上より、求める個数は $504+63=567$ である。

(2)
同じ方針でn桁を数える。ただしn桁の自然数という条件から、先頭の桁は0でない。

0を含まない2種類の数字を使う場合、数字の組は ${}_9{\mathrm{C}}_2$ 通りである。組を固定すると全体では $2^n$ 通りの列があるが、片方の数字だけでできる2通りを除く。したがって $${}_9{\mathrm{C}}_2(2^n-2)=36(2^n-2)$$ 通りである。

0を含む場合、0と組になる数字は9通りである。先頭の桁はその0でない数字に決まり、残り $n-1$ 桁には0またはその数字を入れる。ちょうど2種類にするには、残り $n-1$ 桁のどこかに0が必要であるから、入れ方は $2^{n-1}-1$ 通りである。よってこの場合は $9(2^{n-1}-1)$ 通りである。

したがって求める個数は $36(2^n-2)+9(2^{n-1}-1)$ である。なお、$n=4$ を代入すると $$36(16-2)+9(8-1)=504+63=567$$ となり、(1)と一致する。

先頭桁と使用する数字の分類

数字の組を先に選ぶ代わりに、使用可能な数字を固定した列を包除原理で数える。0を含まない組では両方の数字が少なくとも1回現れる条件を引き、0を含む組では先頭が0でない条件を最初に固定する。

(1)

0を含まない2数字の組は ${}_9{\mathrm{C}}_2=36$ 組ある。1組を固定したとき、4桁の列 $2^4$ 通りから同じ数字だけを4回並べる2通りを除くので$$36(2^4-2)=504$$通りである。

0を含む組は $\{0,d\}(d=1,\dots ,9)$ の9組である。先頭は $d$ に決まり、残り3桁は $0,d$ のいずれかである。ただし0が一度も現れない1通りを除くので$$9(2^3-1)=63$$通りである。ゆえに総数は$$504+63=567.$$(2)

同じ分類を $n$ 桁へ広げる。0を含まない場合は$${}_9{\mathrm{C}}_2(2^n-2)=36(2^n-2)$$通り、0を含む場合は$$9(2^{n-1}-1)$$通りである。したがって$$36(2^n-2)+9(2^{n-1}-1)$$個である。$n=1$ でもこの式は0となり、「ちょうど2種類」という条件と一致する。