北海道大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)
それぞれの定積分を計算すると $${\int }_0^{1}f(x)dx={\int }_0^1(x^2+ax+b)dx={\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{a}{2}}+b$$ であり、$${\int }_0^{1}g(x)dx={\int }_0^1(x+c)dx={\displaystyle \frac{1}{2}}+c$$ である。したがって条件は $${\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{a}{2}}+b={\displaystyle \frac{1}{2}}+c$$ である。これを整理して $$c={\displaystyle \frac{a}{2}}+b-{\displaystyle \frac{1}{6}}$$ を得る。

(2)
共有点の個数は $h(x)=f(x)-g(x)$ の零点の個数で決まる。(1)の条件より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle h(x)}& {\displaystyle =x^2+ax+b-(x+c)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x^2+(a-1)x+b-({\displaystyle \frac{a}{2}}+b-{\displaystyle \frac{1}{6}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x^2+(a-1)x-{\displaystyle \frac{a}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}}\end{array}$$である。したがって$$h(0)={\displaystyle \frac{1-3a}{6}},h(1)={\displaystyle \frac{3a+1}{6}},h\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=-{\displaystyle \frac{1}{12}}$$である。 $h(x)$ は下に凸の2次関数であり、区間の中央で $$h\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)<0$$ となる。このため、両端の値がともに0以上なら、区間 $[0,1]$ の中に零点が2個ある。端点の片方が0の場合も、その端点と内部の1点で合計2個である。条件 $h(0)\geqq 0,h(1)\geqq 0$ は $$-{\displaystyle \frac{1}{3}}\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{1}{3}}$$ と同値である。

一方、$a>1\mathrm{/}3$ のときは $h(0)<0<h(1)$ であり、右側で1回だけ0を通る。また、$a<-1\mathrm{/}3$ のときは $h(1)<0<h(0)$ であり、左側で1回だけ0を通る。

よって、$0\leqq x\leqq 1$ における共有点の個数は$$\{\begin{array}{ll}\text{2個}& (-{\displaystyle \frac{1}{3}}\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{1}{3}}),\\ \text{1個}& (a<-{\displaystyle \frac{1}{3}}\text{ または }a>{\displaystyle \frac{1}{3}})\end{array}$$である。

差 $h(x)=f(x)-g(x)$ の零点

差 $h=f-g$ を直接因数分解できる形まで根の公式で求める。積分条件により $h(1\mathrm{/}2)=-1\mathrm{/}12$ が固定され、2根の明示式から各根が区間 $[0,1]$ に入る条件を別々に判定する。

(1) $${\int }_0^{1}f(x)dx={\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{a}{2}}+b,{\int }_0^{1}g(x)dx={\displaystyle \frac{1}{2}}+c$$だから、必要十分条件は$$b-c={\displaystyle \frac{1}{6}}-{\displaystyle \frac{a}{2}}$$である。

(2)

共有点の $x$ 座標は$$h(x):=f(x)-g(x)=x^2+(a-1)x+{\displaystyle \frac{1}{6}}-{\displaystyle \frac{a}{2}}=0$$の解である。判別式は$$(a-1{)}^2-4({\displaystyle \frac{1}{6}}-{\displaystyle \frac{a}{2}})=a^2+{\displaystyle \frac{1}{3}}>0$$なので、異なる2実根$$x_{\pm }={\displaystyle \frac{1-a\pm \sqrt{a^2+1\mathrm{/}3}}{2}}(x_{-}<x_{+})$$をもつ。

2根とも $[0,1]$ に入る条件は $x_{-}\geqq 0$ かつ $x_{+}\leqq 1$ である。前者は$$\sqrt{a^2+{\displaystyle \frac{1}{3}}}\leqq 1-a$$であり、両辺の非負性も含めて $a\leqq 1\mathrm{/}3$ と同値である。後者は$$\sqrt{a^2+{\displaystyle \frac{1}{3}}}\leqq 1+a$$であり $a\geqq -1\mathrm{/}3$ と同値である。したがって$$-{\displaystyle \frac{1}{3}}\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{1}{3}}$$なら共有点は2個である。それ以外では、一方の根だけが $[0,1]$ に入るので共有点は1個である。