熊本大学 2018年度 前期数学① 第4問

(問1)
$S_1=a_1=1$ であるから$$S_2=2S_1+1^2+2\cdot 1=5$$である。したがって$$a_2=S_2-S_1=4$$である。また$$S_3=2S_2+2^2+2\cdot 2=18$$より$$a_3=S_3-S_2=13$$である。

(問2)$$a_{n+1}=S_{n+1}-S_n=S_n+n^2+2n$$である。また $n\geqq 2$ のとき$$S_n=2S_{n-1}+(n-1{)}^2+2(n-1)$$であるから$$a_n=S_n-S_{n-1}=S_{n-1}+(n-1{)}^2+2(n-1)$$である。よって$$S_n=S_{n-1}+a_n=2a_n-n^2+1$$となる。したがって$$a_{n+1}=2a_n+2n+1$$である。

(問3)
(問2)より$$a_{n+1}+2(n+1)+3=2(a_n+2n+3)$$である。$a_2=4$ だから$$a_2+2\cdot 2+3=11$$であり，$n\geqq 2$ に対して$$a_n+2n+3=11\cdot 2^{n-2}$$である。よって$$a_n=11\cdot 2^{n-2}-2n-3(n\geqq 2)$$である。

まず $S_n$ 自体の漸化式に2次式の特解を置き、$S_n$ の一般項を直接求める。その差 $S_n-S_{n-1}$ から $a_n$ を得る。

(問1)$$S_1=1$$より$$S_2=2S_1+1^2+2=5,S_3=2S_2+2^2+4=18.$$したがって$$a_2=S_2-S_1=4,a_3=S_3-S_2=13.$$(問2)

与式を $n$ と $n-1$ について書き、辺々を引くと$$S_{n+1}-S_n=2(S_n-S_{n-1})+2n+1.$$よって$$a_{n+1}=2a_n+2n+1(n\geqq 2)\mathrm{.}$$(問3)

$S_n$ の2次式の特解を$$S_n^{(p)}=A{n}^2+Bn+C$$とおく。$$S_{n+1}^{(p)}-2S_n^{(p)}=n^2+2n$$の係数を比較すると$$A=-1,B=-4,C=-5.$$したがって$$S_n+n^2+4n+5$$は公比 $2$ の等比数列である。$S_1=1$ より$$S_1+1+4+5=11$$なので$$S_n=11\cdot 2^{n-1}-n^2-4n-5.$$ゆえに $n\geqq 2$ で$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_n}& {\displaystyle =S_n-S_{n-1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =11\cdot 2^{n-2}-2n-3.}\end{array}$$