熊本大学 2022年度文系数学第3問解答・解説

問題

数列 ${a_{n}}$ は漸化式 $a_{n + 2} = \frac{a _{n + 1} + a _{n}}{2}$ $（ n = 1, 2, 3, \dots ）$ を満たしているとする． $a_{1} < a_{2}$ のとき,以下の問いに答えよ．(問1)　 $n = 3,$ $4,$ $5, \dots$ に対して $a_{1} < a_{n} < a_{2}$ が成り立つことを示せ．(問2)　 $n = 1,$ $2,$ $3, \dots$ に対して $b_{n} = a_{2 n - 1},$ $c_{n} = a_{2 n}$ として数列 ${b_{n}},$ ${c_{n}}$ を定めると, $b_{n} < b_{n + 1} < c_{n + 1} < c_{n}$ が $n = 1,$ $2,$ $3, \dots$ に対して成り立つことを示せ．

出典：熊本大学 2022年度前期文系第3問

方針

解法1（隣接差を等比数列にする方法）

隣接差 $d_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ を導入すると $d_{n + 1} = - d_{n} /2$ となる。差の符号と大きさが交互に減少することから，(問1)の範囲評価と，奇数番目・偶数番目の単調性および大小関係を示す。

解法2（特性方程式から一般項を求める方法）

2階線形漸化式の特性方程式を解き、一般項を定数項と公比 $- 1/2$ の項に分ける。奇数項と偶数項の式を明示すれば、4つの大小関係を直接比較できる。

解答

解法1（隣接差を等比数列にする方法）

(問1)

d_{n} = a_{n + 1} - a_{n}

とおく。漸化式より

d_{n + 1} = a_{n + 2} - a_{n + 1} = \frac{a _{n + 1} + a _{n}}{2} - a_{n + 1} = - \frac{1}{2} d_{n}

である。 $d_{1} = a_{2} - a_{1} > 0$ であるから

d_{n} = (- \frac{1}{2})^{n - 1} d_{1}

である。したがって

a_{n} = a_{1} + d_{1} {1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2 ^{2}} - \dots + (- \frac{1}{2})^{n - 2}}

である。 $n ≧ 3$ のとき，この交代和は $0$ より大きく $1$ より小さい。よって

a_{1} < a_{n} < a_{1} + d_{1} = a_{2}

である。

(問2)

$b_{n} = a_{2 n - 1}$ ， $c_{n} = a_{2 n}$ とする。上で求めた $d_{n}$ を用いると

b_{n + 1} - b_{n} c_{n + 1} - c_{n} = a_{2 n + 1} - a_{2 n - 1} = d_{2 n - 1} + d_{2 n} = \frac{d _{1}}{2 \cdot 4 ^{n - 1}} > 0, = a_{2 n + 2} - a_{2 n} = d_{2 n} + d_{2 n + 1} = - \frac{d _{1}}{4 ^{n}} < 0.

また

c_{n + 1} - b_{n + 1} = a_{2 n + 2} - a_{2 n + 1} = d_{2 n + 1} = \frac{d _{1}}{4 ^{n}} > 0

である。さらに $b_{n} < b_{n + 1}$ は上で示した。したがって

b_{n} < b_{n + 1} < c_{n + 1} < c_{n}

がすべての自然数 $n$ について成り立つ。

解法2（特性方程式から一般項を求める方法）

$d = a_{2} - a_{1} > 0$ とおく。特性方程式

2 r^{2} - r - 1 = 0

の解は $r = 1, - 1/2$ だから

a_{n} = A + B (- \frac{1}{2})^{n - 1} .

初期条件から

A = \frac{a _{1} + 2 a _{2}}{3} = a_{1} + \frac{2 d}{3}, B = - \frac{2 d}{3} .

よって

a_{n} = a_{1} + \frac{2 d}{3} - \frac{2 d}{3} (- \frac{1}{2})^{n - 1} .

(問1)

$n ≧ 3$ では $(- 1/2)^{n - 1} ≦ 1/4$ なので

a_{1} + \frac{d}{2} ≦ a_{n} ≦ a_{1} + \frac{5 d}{6} .

$d > 0$ より

a_{1} < a_{n} < a_{1} + d = a_{2} .

(問2)

一般項から

b_{n} = A - \frac{2 d}{3 \cdot 4 ^{n - 1}}, c_{n} = A + \frac{d}{3 \cdot 4 ^{n - 1}} .

したがって

b_{n + 1} - b_{n} = \frac{d}{2 \cdot 4 ^{n - 1}} > 0, c_{n} - c_{n + 1} = \frac{d}{4 ^{n}} > 0,

また

c_{n + 1} - b_{n + 1} = \frac{d}{4 ^{n}} > 0.

以上をつなげれば

b_{n} < b_{n + 1} < c_{n + 1} < c_{n}

がすべての自然数 $n$ で成り立つ。

熊本大学 2022年度文系数学 第3問

問題

方針

解法1（隣接差を等比数列にする方法）

解法2（特性方程式から一般項を求める方法）

解答

解法1（隣接差を等比数列にする方法）

(問1)

(問2)

解法2（特性方程式から一般項を求める方法）

(問1)

(問2)

熊本大学 2022年度
文系数学第3問