熊本大学 2022年度 前期文系数学 第3問

(問1)$$d_n=a_{n+1}-a_n$$とおく。漸化式より$$d_{n+1}=a_{n+2}-a_{n+1}=\frac{a_{n+1}+a_n}{2}-a_{n+1}=-\frac{1}{2}{d}_n$$である。$d_1=a_2-a_1>0$ であるから$$d_n={(-\frac{1}{2})}^{n-1}{d}_1$$である。したがって$$a_n=a_1+d_1\{1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}-\cdots +{(-\frac{1}{2})}^{n-2}\}$$である。$n\geqq 3$ のとき，この交代和は $0$ より大きく $1$ より小さい。よって$$a_1<a_n<a_1+d_1=a_2$$である。

(問2)
$b_n=a_{2n-1}$，$c_n=a_{2n}$ とする。上で求めた $d_n$ を用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle b_{n+1}-b_n}& {\displaystyle =a_{2n+1}-a_{2n-1}=d_{2n-1}+d_{2n}=\frac{d_1}{2\cdot 4^{n-1}}>0,}\\ {\displaystyle c_{n+1}-c_n}& {\displaystyle =a_{2n+2}-a_{2n}=d_{2n}+d_{2n+1}=-\frac{d_1}{4^n}<0.}\end{array}$$また$$c_{n+1}-b_{n+1}=a_{2n+2}-a_{2n+1}=d_{2n+1}=\frac{d_1}{4^n}>0$$である。さらに $b_n<b_{n+1}$ は上で示した。したがって$$b_n<b_{n+1}<c_{n+1}<c_n$$がすべての自然数 $n$ について成り立つ。

2階線形漸化式の特性方程式を解き、一般項を定数項と公比 $-1\mathrm{/}2$ の項に分ける。
奇数項と偶数項の式を明示すれば、4つの大小関係を直接比較できる。

$d=a_2-a_1>0$ とおく。特性方程式$$2r^2-r-1=0$$の解は $r=1,-1\mathrm{/}2$ だから$$a_n=A+B{(-\frac{1}{2})}^{n-1}\mathrm{.}$$初期条件から$$A=\frac{a_1+2a_2}{3}=a_1+\frac{2d}{3},B=-\frac{2d}{3}\mathrm{.}$$よって$$a_n=a_1+\frac{2d}{3}-\frac{2d}{3}{(-\frac{1}{2})}^{n-1}\mathrm{.}$$(問1)
$n\geqq 3$ では $\mid (-1\mathrm{/}2{)}^{n-1}\mid \leqq 1\mathrm{/}4$ なので$$a_1+\frac{d}{2}\leqq a_n\leqq a_1+\frac{5d}{6}\mathrm{.}$$$d>0$ より$$a_1<a_n<a_1+d=a_2\mathrm{.}$$(問2)
一般項から$$b_n=A-\frac{2d}{3\cdot 4^{n-1}},c_n=A+\frac{d}{3\cdot 4^{n-1}}\mathrm{.}$$したがって$$b_{n+1}-b_n=\frac{d}{2\cdot 4^{n-1}}>0,c_n-c_{n+1}=\frac{d}{4^n}>0,$$また$$c_{n+1}-b_{n+1}=\frac{d}{4^n}>0.$$以上をつなげれば$$b_n<b_{n+1}<c_{n+1}<c_n$$がすべての自然数 $n$ で成り立つ。