熊本大学 2017年度 前期 医学科理系数学 第4問

(問1)
$n=2$ のとき，$1,2,3,4$ を用いる。最大にするには，大きい数を分子，小さい数を分母にし，さらに大きい分子を小さい分母と組にすればよい。したがって$$S_2=\frac{4}{1}+\frac{3}{2}=\frac{11}{2}$$である。

(問2)
次の順列を考える。$$a_1=2n,a_2=2n-1,\dots ,a_n=n+1,$$$$a_{n+1}=1,a_{n+2}=2,\dots ,a_{2n}=n$$このとき$$S_n\geqq \sum _{k=1}^n\frac{2n+1-k}{k}$$である。

これが最大であることを示す。ある順列で，分子側にある数 $p$ と分母側にある数 $q$ が $p<q$ を満たすとする。$p$ が分子である項を $\frac{p}{d}$，$q$ が分母である項を $\frac{c}{q}$ とする。$p$ と $q$ の位置を入れ替えると，この2項は$$\frac{q}{d}+\frac{c}{p}$$になる。その増加分は$$\frac{q-p}{d}+c(\frac{1}{p}-\frac{1}{q})>0$$である。よって最大のとき，分子側の数はすべて分母側の数より大きい。したがって分母側は $1,2,\dots ,n$，分子側は $n+1,n+2,\dots ,2n$ でなければならない。

次に，分子 $x>y$ が分母 $u>v$ とそれぞれ組になっているとする。この2組を入れ替えると$$\frac{x}{v}+\frac{y}{u}-(\frac{x}{u}+\frac{y}{v})=(x-y)(\frac{1}{v}-\frac{1}{u})>0$$である。したがって最大では，大きい分子ほど小さい分母と組む。よって上に挙げた順列が $S_n$ を与え，$$S_n=\sum _{k=1}^n\frac{2n+1-k}{k}=(2n+1)\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}-n$$である。

(問3)$$H_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}$$ とおく。(問2)より$$\frac{S_n}{n\log n}=\frac{2n+1}{n}\cdot \frac{H_n}{\log n}-\frac{1}{\log n}$$である。ここで $\log$ は自然対数である。

$1\mathrm{/}x$ のグラフと面積を比較すると$${\int }_1^n\frac{dx}{x}\leqq H_n\leqq 1+{\int }_1^n\frac{dx}{x}$$であるから$$1\leqq \frac{H_n}{\log n}\leqq 1+\frac{1}{\log n}$$である。したがって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{H_n}{\log n}=1$$である。よって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{S_n}{n\log n}=2$$である。

分子集合と分母集合の分離，および組合せの順序を，隣接交換による並べ替え不等式として整理する。最大値を調和数で表した後，積分比較で極限を挟む。

(問1)
分子には大きい2数，分母には小さい2数を置き，大きい分子を小さい分母と組ませるので$$S_2=\frac{4}{1}+\frac{3}{2}=\frac{11}{2}$$である。

(問2)
最大となる例として$$(a_1,\dots ,a_n)=(2n,2n-1,\dots ,n+1),$$$$(a_{n+1},\dots ,a_{2n})=(1,2,\dots ,n)$$をとる。

実際，分子側の$p$と分母側の$q$が$p<q$なら，両者を交換したときの増分は$$\frac{q-p}{d}+c(\frac{1}{p}-\frac{1}{q})>0$$である。よって最大時の分子集合は$\{n+1,\dots ,2n\}$である。

さらに$x>y,u>v$に対して$$\frac{x}{v}+\frac{y}{u}-\frac{x}{u}-\frac{y}{v}=(x-y)(\frac{1}{v}-\frac{1}{u})>0$$だから，大きい分子と小さい分母を組ませるのが最大である。したがって$$S_n=\sum _{k=1}^n\frac{2n+1-k}{k}=(2n+1)H_n-n,H_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}$$である。

(問3)
積分比較$$\log n\leqq H_n\leqq 1+\log n$$より$H_n\mathrm{/}\log n\to 1$である。したがって$$\frac{S_n}{n\log n}=(2+\frac{1}{n})\frac{H_n}{\log n}-\frac{1}{\log n}⟶2$$である。