熊本大学 2018年度 前期数学① 第3問

(問1)
$R_{(1,1)}$ から $R_{(3,4)}$ へ移るには，$x$ 軸方向に2回，$y$ 軸方向に3回進めばよい。5回のうち $x$ 軸方向に進む2回を選べばよいから，求める確率は$$\frac{{}_5{\mathrm{C}}_2}{2^5}=\frac{10}{32}=\frac{5}{16}$$である。

(問2)
2回後に $6$ の目が上にあるのは，最初の2回がともに $x$ 軸方向，またはともに $y$ 軸方向である場合である。前者の場合，残り3回はすべて $y$ 軸方向でなければならないので1通りである。後者の場合，残り3回のうち $x$ 軸方向が2回，$y$ 軸方向が1回であればよいので3通りである。

条件を満たす最初の2回は2通りであり，その後の3回は全部で $2^3$ 通りである。したがって求める条件付き確率は$$\frac{1+3}{2\cdot 2^3}=\frac{1}{4}$$である。

(問3)
表を $X$，裏を $Y$ と書く。5回後に $1$ の目が上に戻る列を，さいころの上面だけを追って調べると$$YXYYY,XYXYY,YYYXY,XXYXY,YYXYX,XXXYX,YXYXX,XYXXX$$の8通りである。したがって求める確率は$$\frac{8}{2^5}=\frac{1}{4}$$である。

表を $X$、裏を $Y$ とし、初めに上を向く「1の面」の法線ベクトルだけを90度回転で追跡する。全32列を短い漸化式で漏れなく判定する。

(問1)

5回後に $R_{(3,4)}$ にいるためには、$X$ が2回、$Y$ が3回出ればよい。したがって$$\frac{{}_5{\mathrm{C}}_2}{2^5}=\frac{5}{16}\mathrm{.}$$(問2)

2回後に $6$ が上にあるのは、初めに上にあった $1$ の面が下を向くときであり、最初の2回が$$XX\text{または}YY$$の場合である。

$XX$ の後は $YYY$ の1通り、$YY$ の後は残り3回中に $X$ が2回ある3通りが目標位置に着く。条件の下の全事象は$$2\cdot 2^3=16$$通りなので$$\frac{1+3}{16}=\frac{1}{4}\mathrm{.}$$(問3)

初めに $1$ の面の外向き法線を$${\mathit{v}}_0=(0,0,1)$$とする。さいころを $x$ 方向、$y$ 方向へ転がしたとき、この法線の座標はそれぞれ$$X:(u,v,w)⟼(w,v,-u),$$$$Y:(u,v,w)⟼(u,w,-v)$$と移る。5文字の列にこの変換を順に適用し、最後に$${\mathit{v}}_5=(0,0,1)$$となる列を調べると$$\begin{array}{cccc}XXXYX& XXYXY& XYXXX& XYXYY\\ YXYXX& YXYYY& YYXYX& YYYXY\end{array}$$の8通りである。よって$$\frac{8}{2^5}=\frac{1}{4}\mathrm{.}$$