熊本大学 2020年度 前期数学② 第1問

(1)

任意の整数 $x$ は5を法として $0,\pm 1,\pm 2$ のいずれかに合同である。したがって$$x^2\equiv 0,1,4(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5)$$のいずれかである。

(2)

与式を5を法として見ると$$x^2\equiv 2z^2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5)\mathrm{.}$$平方剰余 $0,1,4$ を2倍した余りは $0,2,3$ であり、両者の共通部分は0だけである。よって$$x^2\equiv z^2\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5),5\mid x,5\mid z\mathrm{.}$$$x=5x_1,z=5z_1$ と書いて元の式へ代入し、5で割ると$$5x_1^2+y^2=10z_1^2\mathrm{.}$$したがって $y^2\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5)$ であり、$5\mid y$ である。ゆえに $x,y,z$ はすべて5の倍数である。

(3)

自然数解が存在すると仮定する。(2) より$$x=5x_1,y=5y_1,z=5z_1$$と書ける。元の式へ代入して25で割れば$$x_1^2+5y_1^2=2z_1^2$$となる。つまり $(x_1,y_1,z_1)$ も自然数解であり、各成分は元の解の5分の1である。同じ操作を繰り返すと、正の自然数を何度でも5で割れることになり不可能である。したがって$$\text{自然数解は存在しない}\mathrm{.}$$

(1) の平方剰余表を使って(2)を証明した後、(3)では $x+y+z$ が最小の解を取る。全成分を5で割った組がさらに小さい解になるため、最小性に反する。

(1)

剰余を直接表にすると$$\begin{array}{cccccc}x<mrow><mi\; mathvariant="normal">m</mi><mi\; mathvariant="normal">o</mi><mi\; mathvariant="normal">d</mi></mrow>5& 0& 1& 2& 3& 4\\ x^2<mrow><mi\; mathvariant="normal">m</mi><mi\; mathvariant="normal">o</mi><mi\; mathvariant="normal">d</mi></mrow>5& 0& 1& 4& 4& 1\end{array}$$だから、平方の余りは $0,1,4$ に限られる。

(2)

$x^2\equiv 2z^2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5)$ に対し、$z^2\equiv 1,4$ なら右辺はそれぞれ2,3となり、平方剰余にはならない。よって $z^2\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5)$ で、同時に $x^2\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5)$ である。したがって $5\mid x,z$。

$x=5x_1,z=5z_1$ とすれば$$y^2=5(10z_1^2-5x_1^2)$$となるので $5\mid y^2$、したがって $5\mid y$ である。

(3)

自然数解のうち $x+y+z$ が最小のものを1組取る。(2) により$$(x,y,z)=5(x_1,y_1,z_1)$$と書ける。両辺を25で割ると $(x_1,y_1,z_1)$ も同じ方程式の自然数解である。しかし$$x_1+y_1+z_1=\frac{x+y+z}{5}<x+y+z$$となり、選び方の最小性に反する。よって自然数解は存在しない。