熊本大学 2024年度 前期数学③ 第4問

(問1)$$(k-l)(k+l)=3^m$$である。$0<k-l<k+l$より$$k-l=3^a,k+l=3^{m-a},0\leqq a<\frac{m}{2}\mathrm{.}$$$m=2s-1$または$m=2s$のとき、$a=0,1,\dots ,s-1$の$s$通りである。逆に各$a$から$$k=\frac{3^{m-a}+3^a}{2},l=\frac{3^{m-a}-3^a}{2}$$が得られるので、個数は$s$である。

(問2)
$3\nmid x$なら$\gcd (x,x+3^m)=1$である。積が平方数なので$$x=l^2,x+3^m=k^2$$と書ける。よって$k^2-l^2=3^m$である。(問1)の因数表示で$l$が3の倍数でないためには$a=0$でなければならない。したがって$$x={\left(\frac{3^m-1}{2}\right)}^2\mathrm{.}$$(問3)
$d=\gcd (x,x+3^m)=3^r$とおく。$x=3^{r}X,x+3^m=3^{r}Y$とすれば$\gcd (X,Y)=1$である。積$XY$は平方数なので$$X=l^2,Y=k^2,\gcd (k,l)=1.$$$r=m$では$k^2-l^2=1$となり自然数解がないため、$0\leqq r\leqq m-1$である。$t=m-r$とおくと$$(k-l)(k+l)=3^t\mathrm{.}$$$k,l$が互いに素なので、2因子の共通の3の指数は0でなければならない。ゆえに$$k-l=1,k+l=3^t,$$となり、固定した$r$ごとに解はただ1つ、$$x=3^r{\left(\frac{3^{m-r}-1}{2}\right)}^2$$である。$r=0,1,\dots ,m-1$でこれらは互いに異なるから、個数は$$m$$である。

(問1)は$(k-l)(k+l)$、(問3)は$(2x+3^m{)}^2-(2y{)}^2$を因数分解する。後者の2因子は積が$3^{2m}$となる正の奇数なので、指数を割り振るだけで全解を重複なく列挙できる。

(問1)
$(k-l)(k+l)=3^m$で、両因子は正の奇数である。ある整数$a$を用いて$$k-l=3^a,k+l=3^{m-a}$$と表せる。$k-l<k+l$より$0\leqq a<m\mathrm{/}2$であり、逆にこの範囲の$a$ごとに$$k=\frac{3^{m-a}+3^a}{2},l=\frac{3^{m-a}-3^a}{2}$$が自然数解を与える。したがって$m=2s-1,2s$のいずれでも個数は$s$である。

(問2)
$3\nmid x$なら$\gcd (x,x+3^m)=1$である。積が平方数なので$$x=l^2,x+3^m=k^2$$となる。(問1)の表示で$3\nmid l$となるのは$a=0$だけだから$$x=l^2={\left(\frac{3^m-1}{2}\right)}^2\mathrm{.}$$(問3)
整数$y$を用いて$$x(x+3^m)=y^2$$とおく。4倍して平方完成すると$$(2x+3^m{)}^2-(2y{)}^2=3^{2m},$$すなわち$$(2x+3^m-2y)(2x+3^m+2y)=3^{2m}\mathrm{.}$$左の2因子は正の奇数で前者が後者より小さい。したがって、ある整数$r$により$$2x+3^m-2y=3^r,2x+3^m+2y=3^{2m-r},$$かつ$0\leqq r<m$と一意に表せる。2式を加えて$$x=3^r{\left(\frac{3^{m-r}-1}{2}\right)}^2\mathrm{.}$$逆に各$r=0,1,\dots ,m-1$は自然数解を与える。また括弧内は3の倍数でないので各解の$x$に含まれる3の指数は$r$であり、重複しない。よって求める個数は$$m$$である。