熊本大学 2022年度 前期 医学科理系数学 第4問

(問1)
$m=2,n=2$ とすると$$mn+2=6,{}_{m+n}{\mathrm{C}}_m={}_4{\mathrm{C}}_2=6$$である。したがって求める組の一つは$$(m,n)=(2,2)$$である。

(問2)
まず $m=1$ のとき，方程式は$$n+2={}_{n+1}{\mathrm{C}}_1=n+1$$となり，成り立たない。

次に $m=2$ のとき，$$2n+2={}_{n+2}{\mathrm{C}}_2=\frac{(n+2)(n+1)}{2}$$である。整理すると$$n^2-n-2=0$$であり，正の整数解は $n=2$ である。

最後に $m\geqq 3$ とする。$m\leqq n$ であるから，${}_{m+n}{\mathrm{C}}_r$ は $r=0,1,\dots ,m$ の範囲で少なくとも $r=3$ までは増加し，$${}_{m+n}{\mathrm{C}}_m\geqq {}_{m+n}{\mathrm{C}}_3\geqq {}_{n+3}{\mathrm{C}}_3$$である。よって$${}_{m+n}{\mathrm{C}}_m\geqq \frac{(n+3)(n+2)(n+1)}{6}$$である。一方，$m\leqq n$ より$$mn+2\leqq n^2+2$$である。$n\geqq 3$ では$$\frac{(n+3)(n+2)(n+1)}{6}>n^2+2$$であるから，$${}_{m+n}{\mathrm{C}}_m>mn+2$$ となる。したがって $m\geqq 3$ では解はない。

以上より，条件を満たす正の整数の組は$$(m,n)=(2,2)$$に限られる。

$m=1,2$ を直接処理する。$m\geqq 3$ では
$h_m(n)={}_{m+n}{\mathrm{C}}_m-mn-2$ を定め、初期値 $h_m(m)>0$ と
差分 $h_m(n+1)-h_m(n)>0$ を別々に示す。

(問1)$$(m,n)=(2,2)$$とすれば$$mn+2=6={}_4{\mathrm{C}}_2\mathrm{.}$$よって $(2,2)$ が1組の解である。

(問2)
$m=1$ では $n+2=n+1$ となり不可能である。$m=2$ では$$2n+2=\frac{(n+2)(n+1)}{2}⟺(n-2)(n+1)=0,$$したがって正の整数解は $n=2$ だけである。

以下 $m\geqq 3$, $n\geqq m$ とし$$h_m(n)={}_{m+n}{\mathrm{C}}_m-mn-2$$とおく。まず二項係数は中央へ向かって増えるので$${}_{2m}{\mathrm{C}}_m\geqq {}_{2m}{\mathrm{C}}_3\mathrm{.}$$よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle h_m(m)}& {\displaystyle \geqq \frac{(2m)(2m-1)(2m-2)}{6}-m^2-2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(m-3)(4m^2+3m+11)+27}{3}>0.}\end{array}$$またPascalの関係から$$h_m(n+1)-h_m(n)={}_{m+n}{\mathrm{C}}_{m-1}-m\mathrm{.}$$$2\leqq m-1<(m+n)\mathrm{/}2$ だから$${}_{m+n}{\mathrm{C}}_{m-1}\geqq {}_{m+n}{\mathrm{C}}_2>m,$$したがって $h_m(n)$ は $n\geqq m$ で増加する。
ゆえに $m\geqq 3$ では常に$${}_{m+n}{\mathrm{C}}_m>mn+2$$であり解はない。以上より唯一の組は$$(m,n)=(2,2)\mathrm{.}$$