熊本大学 2021年度 前期数学① 第4問

(問1)$$x^3+2a{x}^2-a^{2}x-2a^3=(x+2a)(x-a)(x+a)$$より第1不等式は $x<-2a$ または $-a<x<a$。また$$3x^2+(12a-1)x-4a=(3x-1)(x+4a)$$より第2不等式は $-4a<x<\frac{1}{3}$。したがって$$-4a<x<-2a,-a<x<\frac{1}{3}\mathrm{.}$$(問2)
$a>2$ のとき，後者の区間には $-2,-1,0$ の3個，前者の区間には少なくとも $-8,-7,-6,-5$ の4個が入るので $m(a)\geqq 7$。$2<a\leqq \frac{9}{4}$ ではちょうどこれら7個であるから最小値は$$7.$$(問3)
$1<a\leqq 2$ では $(-a,\frac{1}{3})$ に含まれる整数は $-1,0$ の2個である。$(-4a,-2a)$ の整数個数は，正の整数 $q=-x$ で$$2a<q<4a$$を満たす個数である。これが2個になるのは$$1<a\leqq \frac{5}{4}\text{，}a=\frac{3}{2}$$である。$a>2$ では後者の区間だけで3個以上になるので不可。

連立不等式を2つの開区間に直した後、左側の整数を $q=-x$ で正の整数に置き換える。(問3)では各整数 $q$ が条件 $2a<q<4a$ を満たす $a$ の範囲を表にし、端点を含むかどうかまで直接数える。

(問1)
2つの左辺を因数分解すると$$(x+2a)(x-a)(x+a)<0$$および$$(3x-1)(x+4a)<0$$である。$a>1$ で根の順序を調べると、それぞれ$$x<-2a\text{または}-a<x<a$$および$$-4a<x<\frac{1}{3}$$となる。共通部分は$$-4a<x<-2a,-a<x<\frac{1}{3}$$である。

(問2)
$a>2$ なら、区間 $(-a,1\mathrm{/}3)$ には少なくとも $-2,-1,0$ の3整数が入る。また $(-4a,-2a)$ の長さは $2a>4$ なので少なくとも4整数が入る。よって $m(a)\geqq 7$ である。実際、$a=9\mathrm{/}4$ のとき$$(-4a,-2a)=(-9,-9\mathrm{/}2),(-a,1\mathrm{/}3)=(-9\mathrm{/}4,1\mathrm{/}3)$$であり、入る整数は$$-8,-7,-6,-5,-2,-1,0$$の7個である。したがって最小値は$$7$$である。

(問3)
$a>2$ では(問2)より $m(a)\geqq 7$ なので、$1<a\leqq 2$ だけを調べればよい。この範囲では $(-a,1\mathrm{/}3)$ に入る整数は $-1,0$ の2個である。

左側の区間で $q=-x$ と置くと、正の整数 $q$ に対する条件は$$2a<q<4a$$である。$1<a\leqq 2$ で候補となる $q$ を表にすると$$\begin{array}{cc}q& 2a<q<4a\text{ を満たす }a\text{ の範囲}\\ 3& (1,3\mathrm{/}2)\\ 4& (1,2)\\ 5& (5\mathrm{/}4,2]\\ 6& (3\mathrm{/}2,2]\\ 7& (7\mathrm{/}4,2]\end{array}$$である。これを数えると、左側の整数が2個になるのは$$1<a\leqq \frac{5}{4}\text{または}a=\frac{3}{2}$$だけである。右側の2個と合わせて $m(a)=4$ となる範囲は$$1<a\leqq \frac{5}{4},a=\frac{3}{2}$$である。