熊本大学 2025年度数学② 第3問｜問題・解答・解説

方針

固定した正整数 $(m, n)$ に対し，連続変数 $a > 0$ を先に最適化する。相加相乗平均により $m^{2} a + n^{2} / a$ の最小値が $2 m n$ と分かるため，『ある $a$ が存在する』という条件は $m n ≦ 12$ という整数条件に変わる。最後は漏れなく個数を数える。

解答

(問1)
$a = 1$ のとき条件は $m^{2} + n^{2} ≦ 25$ である。正の整数 $m, n$ について数えると $\begin{array}{cc} m & n の個数 \\ 1 & 4 \\ 2 & 4 \\ 3 & 4 \\ 4 & 3 \end{array}$ であり、 $m ≧ 5$ では存在しない。したがって $X_{1}$ の要素の個数は $4 + 4 + 4 + 3 = 15$ である。

(問2)
点 $(m, 1)$ について考える。相加相乗平均より $m^{2} a + \frac{1}{a} ≧ 2 m$ であり、等号は $a = 1 / m$ のとき成り立つ。したがって、ある $a > 0$ で $m^{2} a + 1 / a ≦ 25$ となるための条件は $2 m ≦ 25$ である。よってどの $a > 0$ に対しても含まれない最小の正の整数 $m$ は $13$ である。

(問3)
正の整数 $m, n$ を固定すると、相加相乗平均より $m^{2} a + \frac{n^{2}}{a} ≧ 2 m n$ であり、等号は $a = n / m$ のとき成り立つ。したがって $(m, n) \in X$ となる条件は $2 m n ≦ 25$ すなわち $m n ≦ 12$ である。 $m = 1, 2, \dots, 12$ に対する $n$ の個数は順に $12, 6, 4, 3, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1$ である。よって個数は $12 + 6 + 4 + 3 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 35$ である。

別解

別解（判別式でパラメータの存在条件を判定）

方針

不等式に正の $a$ を掛け， $a$ の二次不等式へ直す。上に凸ではなく下に凸の二次式が0以下になる正の $a$ が存在する条件を判別式で判定し，公式解答例と同じ整数条件を得る。

解答

(問2)
$(m, 1) \in X_{a}$ は $m^{2} a^{2} - 25 a + 1 ≦ 0$ と同値である。この二次式の頂点は $a = 25 / (2 m^{2}) > 0$ にあるから，正の $a$ で0以下になるための条件は判別式が0以上，すなわち $625 - 4 m^{2} ≧ 0.$ よって $m ≦ 12$ ではある $a$ が存在し，どの $a$ でも入らない最小の $m$ は13である。

(問3)
同様に $m^{2} a^{2} - 25 a + n^{2} ≦ 0$ を満たす正の $a$ が存在する条件は $625 - 4 m^{2} n^{2} ≧ 0,$ すなわち $m n ≦ 12$ である。したがって $∣ X ∣ = \sum_{m = 1}^{12} ⌊ \frac{12}{m} ⌋ = 12 + 6 + 4 + 3 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 35.$

総評

【公式解答例との対応】公式の判別式法と，より短い相加相乗平均法を併記した。どちらも存在条件 $2 m n ≦ 25$ ，すなわち $m n ≦ 12$ を与え， $∣ X_{1} ∣ = 15$ ，最小の $m = 13$ ， $∣ X ∣ = 35$ と一致する。

難度5，計算量4，想定時間16分。 $m, n$ は正整数なので $2 m n ≦ 25$ は $m n ≦ 12$ と同値である。 $25 / 2$ を13へ切り上げる・12へ切り下げる場面を混同しないこと。

【独立検算】 $\sum_{m = 1}^{12} ⌊ 12 / m ⌋ = 35$ を全列挙し，問1についても四分円内の正格子点15個を別に数えた。

出典: 熊本大学令和7年度一般選抜（前期日程）数学②（公式問題・解答例）（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

熊本大学 2025年度 前期数学② 第3問

方針

解答

別解

方針

解答

総評

熊本大学 2025年度前期数学② 第3問