熊本大学 2021年度 前期数学① 第3問／数学② 第2問

(問1)
$f(x)=x^3-2x^2+x$ とすると $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-4x+1$。$P_1=(2,2)$ での接線は $y=5x-8$ である。$$x^3-2x^2+x=5x-8⟺(x-2{)}^2(x+2)=0$$より，$P_2=(-2,-18)$。

(問2)
傾きは$$3a_n^2-4a_n+1.$$切片は$$f(a_n)-a_n{f}^{\mathrm{\prime }}(a_n)=2a_n^2(1-a_n)\mathrm{.}$$(問3)
接線との差は接点 $x=a_n$ を二重根にもつ。もう一つの根を $r$ とすると根の和から $2a_n+r=2$，すなわち$$a_{n+1}=2-2a_n\mathrm{.}$$よって$$a_{n+1}-\frac{2}{3}=-2(a_n-\frac{2}{3}),a_1=2$$から$$a_n=\frac{2}{3}+\frac{4}{3}(-2{)}^{n-1}\mathrm{.}$$

一般の接点 $x=p$ における接線を $T_p(x)$ と置き、$f(x)-T_p(x)$ を直接因数分解する。接点以外の共有点が式から直ちに読めるため、根と係数の関係を使わずに漸化式を得られる。

(問1)
$f(x)=x^3-2x^2+x$ とする。$p$ を接点の $x$ 座標とし、その接線を$$T_p(x)=f(p)+f^{\mathrm{\prime }}(p)(x-p)$$とおく。展開すると次の恒等式を得る。$$f(x)-T_p(x)=(x-p{)}^2(x+2p-2)$$$p=2$ のとき、接点以外の共有点の $x$ 座標は $-2$ である。したがって$$P_2=(-2,f(-2))=(-2,-18)$$である。

(問2)
$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-4x+1$ より、接線 $l_n$ の傾きは$$3a_n^2-4a_n+1$$である。切片は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(a_n)-a_n{f}^{\mathrm{\prime }}(a_n)}& {\displaystyle =a_n^3-2a_n^2+a_n-a_n(3a_n^2-4a_n+1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2a_n^2(1-a_n)}\end{array}$$である。

(問3)
上の因数分解で $p=a_n$ とすると、接点以外の共有点は$$x+2a_n-2=0$$を満たす。よって$$a_{n+1}=2-2a_n$$である。この一次変換の不動点は $2\mathrm{/}3$ であり$$a_{n+1}-\frac{2}{3}=-2(a_n-\frac{2}{3})$$となる。したがって、$a_1=2$ を用いて$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_n-\frac{2}{3}}& {\displaystyle =(-2{)}^{n-1}(a_1-\frac{2}{3})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{4}{3}(-2{)}^{n-1}}\end{array}$$であるから$$a_n=\frac{2}{3}+\frac{4}{3}(-2{)}^{n-1}$$を得る。