熊本大学 2022年度 前期 理工系理系数学 第3問

(問1)
$f(p)=0$ が実数解をもつ条件は判別式が $0$ 以上であることなので$$x^2-4y\geqq 0$$である。したがって$$D:y\leqq \frac{x^2}{4}$$であり，放物線 $$y={\displaystyle \frac{x^2}{4}}$$ の下側の領域である。

(問2)
実数解を $\alpha \leqq \beta$ とする。すべての実数解が $1$ 以下である条件は，$q=p-1$ とおいたとき，$q$ の2つの解がともに $0$ 以下であることと同値である。よって$$x\geqq -2,f(1)=1+x+y\geqq 0$$が必要である。判別式条件も合わせると$$y\leqq \frac{x^2}{4},x\geqq -2,y\geqq -x-1$$である。

さらに少なくとも1つの実数解が $0$ 以上であるためには，2つの実数解がともに負である場合を除けばよい。これは $x>0$ かつ $y>0$ の場合である。したがって領域 $E$ は$$-2\leqq x\leqq 0\text{では}-x-1\leqq y\leqq \frac{x^2}{4},$$$$x\geqq 0\text{では}-x-1\leqq y\leqq 0$$で表される領域である。

(問3)
求める式は$$x^2+y^2-4y+4=x^2+(y-2{)}^2$$である。これは点 $(x,y)$ と点 $(0,2)$ の距離の2乗である。

$-2\leqq x\leqq 0$ の上側境界 $$y={\displaystyle \frac{x^2}{4}}$$ 上では，$u=x^2$ とおくと$$x^2+{(\frac{x^2}{4}-2)}^2=u+{(\frac{u}{4}-2)}^2=\frac{u^2}{16}+4\geqq 4$$である。$x\geqq 0$ の上側境界 $y=0$ 上では$$x^2+(0-2{)}^2=x^2+4\geqq 4$$である。また下側境界 $y=-x-1$ 上では$$x^2+(-x-3{)}^2\geqq \frac{9}{2}>4$$である。点 $(0,0)$ は領域 $E$ に含まれ，この点で値は $4$ である。したがって最小値は$$4$$である。

実根を $\alpha \leqq \beta$ とおき、$\beta \leqq 1$, $\beta \geqq 0$ を
Vietaの関係で係数平面へ移す。最小化では、各 $x$ に対して点 $(0,2)$ に最も近い
上側境界だけを調べる。

(問1)
判別式から$$x^2-4y\geqq 0⟺D:y\leqq \frac{x^2}{4}\mathrm{.}$$(問2)
実根を $\alpha \leqq \beta$ とする。$\beta \leqq 1$ は、
$q=p-1$ による2根がともに0以下ということである。ゆえに$$x+2\geqq 0,f(1)=1+x+y\geqq 0.$$さらに $\beta \geqq 0$ である。$x\leqq 0$ なら
$\alpha +\beta =-x\geqq 0$ なのでこれは自動的に成り立つ。
$x>0$ なら2根の和は負だから、$\beta \geqq 0$ は
$\alpha \beta =y\leqq 0$ と同値である。したがって$$\{\begin{array}{ll}-2\leqq x\leqq 0:& -x-1\leqq y\leqq x^2\mathrm{/}4,\\ x\geqq 0:& -x-1\leqq y\leqq 0.\end{array}$$(問3)
目的式は点 $(0,2)$ からの距離の2乗$$x^2+(y-2{)}^2$$である。$-2\leqq x\leqq 0$ では $y\leqq x^2\mathrm{/}4\leqq 1$ だから、
固定した $x$ に対して上側境界で最小となり$$x^2+(y-2{)}^2\geqq x^2+{(\frac{x^2}{4}-2)}^2=4+\frac{x^4}{16}\geqq 4.$$$x\geqq 0$ では $y\leqq 0$ だから$$x^2+(y-2{)}^2\geqq x^2+4\geqq 4.$$等号は $(x,y)=(0,0)\in E$ で成り立つ。よって最小値は$$4.$$