熊本大学 2022年度文理共通数学第2問解答・解説

問題

袋の中に赤玉 $2$ 個と白玉 $2$ 個の合計 $4$ 個の玉が入っている． $A$ と $B$ の $2$ 人で次のルールに従ってゲームをする．・ $A,$ $B$ の順で繰り返しプレイヤーになる．・プレイヤーは袋から玉を同時に $2$ 個取り出す．取り出した玉の色が同じならば,プレイヤーの勝利とする．取り出した玉の色が異なるならば,それらを袋に戻してよくかき混ぜ,プレイヤーを交替する．・ $A$ が勝利するか, $A$ が勝利せずに $A$ の後に $B$ がプレイヤーになり, $B$ が勝利するか, $B$ が勝利せずにプレイヤーを交替することによって $1$ 巡が終了する．・勝者が決まるとゲームは終了する．以下の問いに答えよ．(問1)　 $B$ が $1$ 巡目で勝者になる確率を求めよ．(問2)　 $N$ を自然数とし, $N$ 巡目以内に $B$ が勝者になる確率を $p_{N}$ とする． $p_{N} > 0.396$ となる $N$ の最小値を求めよ．ただし, $lo g_{2} 3 = 1.585,$ $lo g_{2} 5 = 2.322$ とする．(問3)　 $N$ を自然数とする． $N$ 巡目以内に勝者になる確率は, $A$ と $B$ のどちらが大きいか．

出典：熊本大学 2022年度前期文理共通第2問

方針

解法1（1巡ごとの等比数列で数える方法）

1回の手番で同色を引く確率を求め，1巡ごとの $A$ 勝利， $B$ 勝利，勝者なしの確率を出す。 $B$ が $N$ 巡以内に勝つ確率は等比数列の和になり，不等式は与えられた常用対数ではなく底2の対数値を用いて判定する。

解法2（巡の開始状態から再帰式を立てる方法）

Aの手番から始まる同じ状態へ戻る確率を求め、残り巡数に関する再帰式を立てる。閾値判定は累乗を整数の大小で直接比較し、対数計算を使わない。

解答

解法1（1巡ごとの等比数列で数える方法）

(問1)

1回の手番で同じ色の2個を取り出す確率は

\frac{2}{6} = \frac{1}{3}

であり，異なる色を取り出す確率は $\frac{2}{3}$ である。 $B$ が1巡目で勝者になるには， $A$ が異なる色を取り出し，続いて $B$ が同じ色を取り出せばよい。したがって

\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9}

である。

(問2)

1巡で勝者が出ない確率は

(\frac{2}{3})^{2} = \frac{4}{9}

である。よって

p_{N} = \frac{2}{9} {1 + \frac{4}{9} + (\frac{4}{9})^{2} + \dots + (\frac{4}{9})^{N - 1}} = \frac{2}{5} {1 - (\frac{4}{9})^{N}}

である。 $p_{N} > 0.396$ は

(\frac{4}{9})^{N} < \frac{1}{100}

と同値である。底 $2$ の対数を用いると

N {2 lo g_{2} 3 - 2} > 2 (1 + lo g_{2} 5)

である。与えられた値から

2 lo g_{2} 3 - 2 = 1.170, 2 (1 + lo g_{2} 5) = 6.644

であるから

N > \frac{6.644}{1.170}

である。右辺は $5$ より大きく $6$ より小さいので，最小の $N$ は

N = 6

である。

(問3)

$N$ 巡目以内に $A$ が勝者になる確率は

\frac{1}{3} {1 + \frac{4}{9} + \dots + (\frac{4}{9})^{N - 1}} = \frac{3}{5} {1 - (\frac{4}{9})^{N}}

である。一方， $B$ が勝者になる確率は

\frac{2}{5} {1 - (\frac{4}{9})^{N}}

である。したがって， $N$ 巡目以内に勝者になる確率は $A$ の方が大きい。

解法2（巡の開始状態から再帰式を立てる方法）

1回の手番で同色を引く確率を $s$ とすると

s = \frac{_{2} C _{2} + _{2} C _{2}}{_{4} C _{2}} = \frac{1}{3}, 1 - s = \frac{2}{3} .

(問1)

Aが失敗し、続いてBが成功すればよいから

\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9} .

(問2)

A、Bがともに失敗すると、確率 $4/9$ で次の巡の開始状態へ戻る。 $r_{N}$ を残り $N$ 巡以内にBが勝つ確率とすると

r_{0} = 0, r_{N} = \frac{2}{9} + \frac{4}{9} r_{N - 1} .

定常値 $r = 2/5$ を引けば

r_{N} - \frac{2}{5} = \frac{4}{9} (r_{N - 1} - \frac{2}{5}),

したがって

r_{N} = \frac{2}{5} {1 - (\frac{4}{9})^{N}} .

条件 $r_{N} > 0.396$ は $(4/9)^{N} < 1/100$ と同値である。ここで

100 \cdot 4^{5} = 102400 > 9^{5} = 59049,

100 \cdot 4^{6} = 409600 < 9^{6} = 531441

だから、最小値は

N = 6 .

(問3)

同様に、残り $N$ 巡以内にAが勝つ確率 $q_{N}$ は

q_{0} = 0, q_{N} = \frac{1}{3} + \frac{4}{9} q_{N - 1}

を満たすので

q_{N} = \frac{3}{5} {1 - (\frac{4}{9})^{N}} .

よって $q_{N} > r_{N}$ であり、 $A の方が大きい$ 。

熊本大学 2022年度文理共通数学 第2問

問題

方針

解法1（1巡ごとの等比数列で数える方法）

解法2（巡の開始状態から再帰式を立てる方法）

解答

解法1（1巡ごとの等比数列で数える方法）

(問1)

(問2)

(問3)

解法2（巡の開始状態から再帰式を立てる方法）

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2022年度
文理共通数学第2問