熊本大学 2023年度文理共通数学第1問（理工系）解答・解説

問題

数列 ${a_{n}}$ を $a_{1} = \frac{1}{8},$ $(4 n^{2} - 1) (a_{n} - a_{n + 1}) = 8 (n^{2} - 1) a_{n} a_{n + 1}$ $（ n = 1, 2, 3, \dots ）$ により定める．以下の問いに答えよ．(問1)　 $a_{2},$ $a_{3}$ を求めよ．(問2)　 $a_{n} \neq = 0$ を示せ．(問3)　 $\frac{1}{a _{n + 1}} - \frac{1}{a _{n}}$ を $n$ の式で表せ．(問4)　数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ．

出典：熊本大学 2023年度前期文理共通第1問

方針

解法1

まず漸化式を用いて初期値を計算する。正であることを帰納法で示してから両辺を割り，逆数の階差に直す。得られた階差を部分分数分解して和をとり，一般項を求める。

解法2（一般項を帰納法で直接確認）

漸化式を $a_{n + 1}$ について解き、正値性を保つ写像として扱う。初期項から一般項の形を予想し、有限和を使わず数学的帰納法で直接証明する。最後に明示式から逆数の差も検算する。

解答

解法1

(問1)

まず， $n = 1$ を代入すると

3 (a_{1} - a_{2}) = 0

であるから， $a_{2} = a_{1} = \frac{1}{8}$ である。次に， $n = 2$ を代入すると

15 (\frac{1}{8} - a_{3}) = 24 \cdot \frac{1}{8} a_{3} = 3 a_{3}

である。したがって

a_{3} = \frac{5}{48}

である。

(問2)

$a_{1} = \frac{1}{8} > 0$ である。 $a_{n} > 0$ と仮定すると，与えられた漸化式は

{4 n^{2} - 1 + 8 (n^{2} - 1) a_{n}} a_{n + 1} = (4 n^{2} - 1) a_{n}

と書ける。左辺の係数は正で，右辺も正であるから $a_{n + 1} > 0$ である。よって帰納法により，すべての $n$ で $a_{n} > 0$ であり，特に $a_{n} \neq = 0$ である。

(問3)

(問2)より $a_{n} a_{n + 1} \neq = 0$ であるから，与式を $a_{n} a_{n + 1}$ で割ると

(4 n^{2} - 1) (\frac{1}{a _{n + 1}} - \frac{1}{a _{n}}) = 8 (n^{2} - 1)

となる。したがって

\frac{1}{a _{n + 1}} - \frac{1}{a _{n}} = \frac{8 ( n ^{2} - 1 )}{4 n ^{2} - 1}

である。

(問4)

\frac{8 ( n ^{2} - 1 )}{4 n ^{2} - 1} = 2 - \frac{3}{2 n - 1} + \frac{3}{2 n + 1}

である。よって $n ≧ 2$ のとき

\frac{1}{a _{n}} = 8 + k = 1 \sum n - 1 (2 - \frac{3}{2 k - 1} + \frac{3}{2 k + 1}) = 8 + 2 (n - 1) - 3 + \frac{3}{2 n - 1} = 2 n + 3 + \frac{3}{2 n - 1} = \frac{4 n ( n + 1 )}{2 n - 1} .

これは $n = 1$ でも成り立つ。したがって

a_{n} = \frac{2 n - 1}{4 n ( n + 1 )}

である。

解法2（一般項を帰納法で直接確認）

(問1)

漸化式を $a_{n + 1}$ について解くと

a_{n + 1} = \frac{( 4 n ^{2} - 1 ) a _{n}}{4 n ^{2} - 1 + 8 ( n ^{2} - 1 ) a _{n}}

である。 $n = 1, 2$ を順に代入して

a_{2} = \frac{1}{8}, a_{3} = \frac{5}{48}

を得る。

(問2)

$a_{1} > 0$ であり、上式で $a_{n} > 0$ なら分子・分母はいずれも正である。したがって帰納法により $a_{n} > 0$ 、特に $a_{n} \neq = 0$ である。

(問4)

初期値から

a_{n} = \frac{2 n - 1}{4 n ( n + 1 )}

と予想する。これは $n = 1$ で正しい。 $n = k$ で正しいと仮定して上の漸化式へ代入すると

a_{k + 1} = \frac{( 4 k ^{2} - 1 ) \frac{2 k - 1}{4 k ( k + 1 )}}{4 k ^{2} - 1 + 8 ( k ^{2} - 1 ) \frac{2 k - 1}{4 k ( k + 1 )}} = \frac{2 k + 1}{4 ( k + 1 ) ( k + 2 )} .

よって数学的帰納法により予想した式がすべての自然数 $n$ で成り立つ。

(問3)

明示式を用いると

\frac{1}{a _{n + 1}} - \frac{1}{a _{n}} = \frac{4 ( n + 1 ) ( n + 2 )}{2 n + 1} - \frac{4 n ( n + 1 )}{2 n - 1} = \frac{8 ( n ^{2} - 1 )}{4 n ^{2} - 1},

となり、元の漸化式から得られる式とも一致する。

熊本大学 2023年度文理共通数学 第1問（理工系）

問題

方針

解法1

解法2（一般項を帰納法で直接確認）

解答

解法1

(問1)

(問2)

(問3)

(問4)

解法2（一般項を帰納法で直接確認）

(問1)

(問2)

(問4)

(問3)

熊本大学 2023年度
文理共通数学第1問（理工系）