熊本大学 2023年度文理共通数学第1問（文系学部）解答・解説

問題

数列 ${a_{n}}$ を $a_{1} = \frac{2}{3},$ $2 (a_{n} - a_{n + 1}) = (n + 2) a_{n} a_{n + 1}$ $（ n = 1, 2, 3, \dots ）$ により定める．以下の問いに答えよ．(問1)　 $a_{2},$ $a_{3}$ を求めよ．(問2)　 $a_{n} \neq = 0$ を示せ．(問3)　 $\frac{1}{a _{n + 1}} - \frac{1}{a _{n}}$ を $n$ の式で表せ．(問4)　数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ．

出典：熊本大学 2023年度前期文理共通第1問

方針

解法1

初期値を代入して $a_{2}, a_{3}$ を求める。正であることを帰納法で示し，逆数の階差に直すと一次式になるので，和をとって一般項を求める。

解法2（漸化式へ明示式を直接代入）

漸化式を $a_{n + 1}$ の有理式に直し、初期項から推測した一般項を数学的帰納法で直接証明する。逆数の階差は得られた明示式から再計算し、元の漸化式との整合性を確認する。

解答

解法1

(問1)

$n = 1$ を代入すると

2 (\frac{2}{3} - a_{2}) = 3 \cdot \frac{2}{3} a_{2} = 2 a_{2}

であるから， $a_{2} = \frac{1}{3}$ である。 $n = 2$ を代入すると

2 (\frac{1}{3} - a_{3}) = 4 \cdot \frac{1}{3} a_{3}

であるから

a_{3} = \frac{1}{5}

である。

(問2)

$a_{1} = \frac{2}{3} > 0$ である。 $a_{n} > 0$ と仮定すると，漸化式は

{2 + (n + 2) a_{n}} a_{n + 1} = 2 a_{n}

と書ける。左辺の係数も右辺も正であるから $a_{n + 1} > 0$ である。よって帰納法により，すべての $n$ で $a_{n} > 0$ であり，特に $a_{n} \neq = 0$ である。

(問3)

(問2)より $a_{n} a_{n + 1} \neq = 0$ であるから，与式を $a_{n} a_{n + 1}$ で割って

2 (\frac{1}{a _{n + 1}} - \frac{1}{a _{n}}) = n + 2

を得る。したがって

\frac{1}{a _{n + 1}} - \frac{1}{a _{n}} = \frac{n + 2}{2}

である。

(問4)

$n ≧ 2$ のとき，(問3)より

\frac{1}{a _{n}} = \frac{3}{2} + k = 1 \sum n - 1 \frac{k + 2}{2} = \frac{3}{2} + \frac{( n - 1 ) ( n + 4 )}{4} = \frac{( n + 1 ) ( n + 2 )}{4} .

これは $n = 1$ でも成り立つ。したがって

a_{n} = \frac{4}{( n + 1 ) ( n + 2 )}

である。

解法2（漸化式へ明示式を直接代入）

(問1)

漸化式は

a_{n + 1} = \frac{2 a _{n}}{2 + ( n + 2 ) a _{n}}

と書ける。これに $a_{1} = 2/3$ を順に代入して

a_{2} = \frac{1}{3}, a_{3} = \frac{1}{5}

を得る。

(問2)

$a_{1} > 0$ であり、上式で $a_{n} > 0$ なら分子・分母は正である。したがって帰納法により $a_{n} > 0$ 、特に $a_{n} \neq = 0$ である。

(問4)

初期項から

a_{n} = \frac{4}{( n + 1 ) ( n + 2 )}

と予想する。 $n = 1$ でこれは正しい。 $n = k$ で正しいと仮定すると

a_{k + 1} = \frac{\frac{8}{( k + 1 ) ( k + 2 )}}{2 + \frac{4}{k + 1}} = \frac{4}{( k + 2 ) ( k + 3 )} .

よって数学的帰納法により一般項は上式である。

(問3)

一般項から

\frac{1}{a _{n + 1}} - \frac{1}{a _{n}} = \frac{( n + 2 ) ( n + 3 ) - ( n + 1 ) ( n + 2 )}{4} = \frac{n + 2}{2}

であり、元の漸化式から得られる関係と一致する。

熊本大学 2023年度文理共通数学 第1問（文系学部）

問題

方針

解法1

解法2（漸化式へ明示式を直接代入）

解答

解法1

(問1)

(問2)

(問3)

(問4)

解法2（漸化式へ明示式を直接代入）

(問1)

(問2)

(問4)

(問3)

熊本大学 2023年度
文理共通数学第1問（文系学部）