熊本大学 2020年度 前期数学③ 第3問

(1)

$x$ を5で割った余りを $0,1,2,3,4$ とすると、その平方の余りは順に$$0,1,4,4,1$$である。したがって$$x^2\text{ の余りは }0,1,4\text{ のいずれか}$$である。

(2)

自然数解が存在すると仮定する。方程式を5を法として見ると$$x^2\equiv 2z^2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5)\mathrm{.}$$(1) より、左辺の候補は $0,1,4$、右辺の候補は $0,2,3$ である。共通するのは0だけなので$$5\mid x,5\mid z\mathrm{.}$$$x=5x_1,z=5z_1$ と置くと$$5x_1^2+y^2=10z_1^2$$となり、$y^2\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5)$ だから $5\mid y$ である。よって$$x=5x_1,y=5y_1,z=5z_1\mathrm{.}$$元の式を25で割ると$$x_1^2+5y_1^2=2z_1^2$$となり、$(x_1,y_1,z_1)$ も自然数解である。この操作を繰り返すと $x,y,z$ は任意の $5^m$ で割り切れることになり、正の自然数であることに反する。したがって$$\text{自然数解は存在しない}\mathrm{.}$$

平方剰余の結論を使い、自然数解があれば3成分がすべて5の倍数になることを示す。$z$ が最小の解を選ぶと、5で割った新しい解の第3成分がさらに小さくなり矛盾する。

(1) $$0^2\equiv 0,(\pm 1{)}^2\equiv 1,(\pm 2{)}^2\equiv 4(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5)$$だから、平方剰余は $0,1,4$ だけである。

(2)

自然数解のうち $z$ が最小のものを取る。$x^2\equiv 2z^2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5)$ と平方剰余を比較すると、$x,z$ は5の倍数である。$x=5x_1,z=5z_1$ を代入した式$$5x_1^2+y^2=10z_1^2$$から $y$ も5の倍数である。そこで $y=5y_1$ とすれば$$x_1^2+5y_1^2=2z_1^2\mathrm{.}$$しかし $z_1=z\mathrm{/}5<z$ であり、$(x_1,y_1,z_1)$ はより小さい自然数解となる。これは $z$ の最小性に反するので、自然数解は存在しない。