熊本大学 2024年度数学③ 第3問（医学科）｜問題・解答・解説

方針

$u = \cos x$ とおくと $f (x) = k - u^{2} - u$ となる。まず $u \in [- 1, 1]$ での二次方程式の根と、区間 $[0, 3 π / 2]$ における $\cos x = u$ の解の個数を数える。(問2)は最初の二つの解が $\cos x$ の二つの根に対応するので、 $u$ で積分して根の間の放物線面積にする。

解答

(問1)
$u = \cos x$ とおくと $f (x) = \sin^{2} x - \cos x - 1 + k = k - u^{2} - u$ である。共有点は $u^{2} + u - k = 0$ を満たす $u = \cos x$ に対応する。 $u^{2} + u$ の $- 1 ≦ u ≦ 1$ での値域は $- \frac{1}{4} ≦ u^{2} + u ≦ 2$ である。

$k < - 1 / 4$ または $k > 2$ では共有点はない。

$k = - 1 / 4$ では $u = - 1 / 2$ であり、 $[0, 3 π / 2]$ に解は $2$ 個ある。

$- 1 / 4 < k < 0$ では二つの根がともに $(- 1, 0)$ にある。それぞれに対し $[0, 3 π / 2]$ に解が $2$ 個あるので、共有点は $4$ 個である。

$k = 0$ では $u = - 1, 0$ であり、解の個数は $1 + 2 = 3$ 個である。

$0 < k < 2$ では一つの根だけが $(0, 1)$ にあるので、共有点は $1$ 個である。 $k = 2$ では $u = 1$ に対応し、共有点は $1$ 個である。

(問2)
共有点が $2$ 個以上あるのは $- \frac{1}{4} ≦ k ≦ 0$ である。方程式 $u^{2} + u - k = 0$ の二つの根を $r_{1} ≦ r_{2}$ とすると $r_{2} - r_{1} = \sqrt{1 + 4 k}$ である。最初の二つの共有点に対応する $u$ の値は $r_{2}, r_{1}$ であるから、 $u = \cos x$ 、 $d u = - \sin x d x$ により $g (k) = \int_{r_{1}}^{r_{2}} (k - u^{2} - u) d u$ である。これは根の間の下に凸な二次式の面積であり、 $g (k) = \int_{r_{1}}^{r_{2}} (u - r_{1}) (r_{2} - u) d u = \frac{(r_{2} - r_{1})^{3}}{6} = \frac{(1 + 4 k)^{3 / 2}}{6}$ である。したがって $- 1 / 4 ≦ k ≦ 0$ で $\min g (k) = 0, \max g (k) = \frac{1}{6}$ である。

別解

解法2（二次関数のグラフと平方完成）

方針

$h (u) = u^{2} + u$ のグラフと $u = \cos x$ の値のとり方を分離して共有点数を数える。積分では2根の中点 $- 1 / 2$ と根間距離を使って被積分関数を平方完成し、対称区間の積分として求める。

解答

(問1)
$u = \cos x$ とおけば $f (x) = 0$ は $h (u) = u^{2} + u = k, - 1 ≦ u ≦ 1$ となる。 $h$ は $u = - 1 / 2$ で最小値 $- 1 / 4$ をとり、 $h (- 1) = h (0) = 0, h (1) = 2$ である。

$u \in (- 1, 0)$ に対する $\cos x = u$ は $0 ≦ x ≦ 3 π / 2$ で2解、 $u \in (0, 1)$ では1解である。端点も別に数えると、共有点数は $\begin{array}{cccccccc} k & (- \infty, - 1 / 4) & - 1 / 4 & (- 1 / 4, 0) & 0 & (0, 2) & 2 & (2, \infty) \\ 個数 & 0 & 2 & 4 & 3 & 1 & 1 & 0 \end{array}$ である。

(問2)
対象は $- 1 / 4 ≦ k ≦ 0$ である。2根を $r_{1} ≦ r_{2}$ 、根間距離を $d = r_{2} - r_{1} = \sqrt{1 + 4 k}$ とする。 $u = \cos x$ 、 $d u = - \sin x d x$ より、最初の2共有点の間では $g (k) = \int_{r_{1}}^{r_{2}} (k - u^{2} - u) d u .$ 根の中点は $- 1 / 2$ なので $v = u + 1 / 2$ とおけば、積分区間は $[- d / 2, d / 2]$ 、被積分関数は $d^{2} / 4 - v^{2}$ である。したがって $\begin{aligned} g (k) & = \int_{- d / 2}^{d / 2} (\frac{d^{2}}{4} - v^{2}) d v = \frac{d^{3}}{6} \\ = \frac{(1 + 4 k)^{3 / 2}}{6} . \end{aligned}$ これは $k$ について増加するから $\min g (k) = g (- 1 / 4) = 0, \max g (k) = g (0) = \frac{1}{6} .$

総評

難度7、計算量6、想定30分。 $u = \cos x$ に対する二次方程式の根数と、各 $u$ に対する区間内の $x$ の個数を分けて数える。解法1は根の位置、解法2は $h (u) = u^{2} + u$ のグラフで7区分を整理した。積分は根間の放物線面積と平方完成の2通りで $g (k) = (1 + 4 k)^{3 / 2} / 6$ に一致する。

出典: 熊本大学 2024年度前期数学③（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

熊本大学 2024年度 前期 医学科数学③ 第3問

方針

解答

別解

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熊本大学 2024年度前期医学科数学③ 第3問