熊本大学 2025年度 前期数学② 第4問

(問1)$$h(x)=x+\log 3-\log (x+3)$$とおく。$x>0$で$$h^{\mathrm{\prime }}(x)=1-\frac{1}{x+3}>0$$であり、$h(0)=0$である。したがって$x>0$では$h(x)>0$であるから$$\log (x+3)<x+\log 3$$が成り立つ。

(問2)
$k=2,3,\dots ,n$について、区間$[k-1,k]$では$1\mathrm{/}x>1\mathrm{/}k$である。したがって$$\frac{1}{k}<{\int }_{k-1}^k\frac{1}{x}dx=\log k-\log (k-1)$$である。これを$k=2$から$n$まで足すと$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}<\log n$$となる。よって$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}<1+\log n$$である。

(問3)
漸化式から$$\log a_n=\log 4+\sum _{r=2}^n\log (3+\frac{1}{r})$$である。ここで$$\log 3<\log (3+\frac{1}{r})=\log 3+\log (1+\frac{1}{3r})<\log 3+\frac{1}{r}$$である。したがって$$\log 4+(n-1)\log 3<\log a_n<\log 4+(n-1)\log 3+\sum _{r=2}^n\frac{1}{r}$$である。(問2)より$$\sum _{r=2}^{n}1\mathrm{/}r<\log n$$であるから、両辺を$n$で割ると$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\log a_n}{n}=\log 3$$となる。よって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{a_n}=3$$である。